陶哲轩实分析 4.3 节习题试解

4.3.1 证明命题 4.3.3

（a）证明 |x|≥0|x| \geq 0，当 |x|=0|x| = 0 时， x=0x = 0。

分情况讨论

（1）x=0x = 0， |x|=0|x | =0 ，所以 |x|≥0|x| \geq 0
（2）x>0x > 0， |x|=x>0|x| = x > 0，所以 |x|≥0|x| \geq 0
（3）x<0x ， |x|=−x>0|x| = -x > 0，所以 |x|≥0|x| \geq 0

所以无论 xx 为任意实数，都有 |x|≥0|x| \geq 0

由上面的讨论可知，只有 x=0x = 0时 |x|=0|x| =0。所以当 |x|=0|x| = 0 时， x=0x = 0。

（b） |x+y|≤|x|+|y||x+y| \leq |x| + |y|

分情况讨论。共 10 种情况。

（1） x=0x = 0， |x+y|=|y|≤|x|+|y||x + y| = |y| \leq |x| + |y|

（2） y=0y = 0， |x+y|=|x|≤|x|+|y||x + y| = |x| \leq |x| + |y|

（3） x>0,y>0x > 0, y > 0， |x+y|=x+y=|x|+|y||x + y| = x + y = |x| + |y|

（4） x<0,y<0x ， |x+y|=(−x)+(−y)=|x|+|y||x + y| = (-x) + (-y) = |x| + |y|

（5） x>0,y<0,x>(−y)x > 0, y (-y)。这时 |x+y|=x+y=x−(−y)=|x|−|y|<|x|<|x|+|y| |x + y| = x + y = x - (-y) = |x| - |y|

（6） x>0,y<0,x=(−y)x > 0, y 。这时 |x+y|=0<|x|+|y||x+y| = 0

（7） x>0,y<0,x<(−y)x > 0, y 。这时 |x+y|=−(x+y)=(−x)+(−y)=|y|−|x|<|y|<|x|+|y| |x + y| = -(x + y) = (-x) + (-y) = |y| - |x|

（8） x<0,y>0,y>(−x)x 0, y > (-x)。这时 |x+y|=x+y=(−x)+y=|y|−|x|<|y|<|x|+|y| |x + y| = x + y = (-x) + y = |y| - |x|

（9） x<0,y>0,−x=yx 0, -x = y。这时 |x+y|=0<|x|+|y||x+y| = 0

（10） x<0,y>0,y<(−x)x 0, y 。这时 |x+y|=−(x+y)=(−x)+(−y)=|x|−|y|<|x|<|x|+|y| |x + y| = -(x + y) = (-x) + (-y) = |x| - |y|

综合上述 10 种情况，都有 |x+y|≤|x|+|y||x+y| \leq |x| + |y|

（c） −y≤x≤y-y \leq x \leq y 成立，当且仅当 y≥|x|y \geq |x|

先证明 (−y≤x≤y)⇒(y≥|x|)(-y \leq x \leq y) \Rightarrow (y \geq |x|)
因为 −y≤y-y \leq y 所以 y≥0y \geq 0

分 2 种情况讨论：

（1）−y≤x≤y-y \leq x \leq y 并且 x≥0x \geq 0 这时因为 0≤x≤y0 \leq x \leq y，所以 |x|≤y|x| \leq y
（2）−y≤x≤y-y \leq x \leq y 并且 x<0x 这时因为 −y≤x-y \leq x，y≥−x>0y \geq -x > 0，所以 |x|≤y|x| \leq y

所以 (−y≤x≤y)⇒(y≥|x|)(-y \leq x \leq y) \Rightarrow (y \geq |x|)

再证明 (y≥|x|)⇒(−y≤x≤y) (y \geq |x|) \Rightarrow (-y \leq x \leq y)
y≥|x|y \geq |x| 表明 (y≥x)(y \geq x) 并且 (y≥−x)(y \geq -x)
因为 (y≥−x)(y \geq -x) 所以 x≥−yx \geq -y
所以 −y≤x≤y-y \leq x \leq y

（d） |xy|=|x||y||xy| = |x||y|

分情况讨论。

（1） x=0x = 0 或 y=0y = 0 这时有 |xy|=0=|x||y||xy| = 0 = |x| |y|
（2） x>0,y<0x > 0, y 这时有 |xy|=−xy=|x|(−y)=|x||y||xy| = -xy = |x| (-y) = |x| |y|
（3） x<0,y>0x 0 这时有 |xy|=−xy=−x|y|=|x||y||xy| = -xy = -x |y| = |x| |y|
（4） x>0,y>0x > 0, y > 0 这时有 |xy|=xy=|x||y||xy| = xy = |x| |y|
（5） x<0,y<0x 这时有 |xy|=xy=(−x)(−y)=|x||y||xy| = xy = (-x) (-y) = |x| |y|

（e）d(x,y)≥0\mathsf{d}(x,y) \geq 0，d(x,y)=0\mathsf{d}(x,y) =0 当且仅当 x=yx = y

d(x,y)=|x−y|≥0\mathsf{d}(x,y) = |x - y| \geq 0

d(x,y)=0⇔|x−y|=0⇔x−y=0⇔x=y

\mathsf{d}(x,y) = 0\\ \Leftrightarrow |x - y| = 0 \\ \Leftrightarrow x - y = 0 \\ \Leftrightarrow x = y

（f）证明 d(x,y)=d(y,x)\mathsf{d}(x,y) = \mathsf{d}(y, x)。

d(x,y)=|x−y|=|−(x−y)|=|y−x|=d(y,x)\mathsf{d}(x,y) = |x -y| = |-(x - y)| = |y - x| = \mathsf{d}(y, x)

（g）证明 d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)\mathsf{d}(x,z) \leq \mathsf{d}(x,y) + \mathsf{d}(y,z)

d(x,z)=|x−z|=|x−y+y−z|≤|x−y|+|y−z|=d(x,y)+d(y,z)\mathsf{d}(x,z) = |x - z| = |x - y + y - z| \leq |x- y| + |y - z| = \mathsf{d}(x,y)+ \mathsf{d}(y,z)

4.3.2 证明命题 4.3.7 剩下的结论

（a）如果 x=yx = y 那么对于每个 ε>0\varepsilon > 0， xx 都是 ε\varepsilon - 接近 yy 的。反之，对于每个 ε>0\varepsilon > 0， xx 都是 ε\varepsilon - 接近 yy 的，那么 x=yx = y。

x=yx = y 则 |x−y|=0<ε|x - y| = 0
所以如果 x=yx = y 那么对于每个 ε>0\varepsilon > 0， xx 都是 ε\varepsilon - 接近 yy 的。

反证法证明反向命题。
假设存在一对 xx 和 yy 满足 x≠yx \neq y 但是对于每个 ε>0\varepsilon > 0， xx 都是 ε\varepsilon - 接近 yy 的。
因为 x≠yx\neq y 所以 x−y≠0x - y \neq 0 所以 d(x,y)=|x−y|≠0\mathsf{d} (x,y) = |x-y| \neq 0
设 ε=|x−y|2>0\varepsilon = \frac{|x-y|} {2} > 0
那么有 d(x,y)=|x−y|=2ε>ε\mathsf{d} (x,y) = |x-y| = 2 \varepsilon > \varepsilon 说明 xx 不是 ε\varepsilon - 接近 yy 的。与原假设矛盾。
所以对于每个 ε>0\varepsilon > 0， xx 都是 ε\varepsilon - 接近 yy 的，那么 x=yx = y。

（b）设 ε>0\varepsilon > 0 如果 xx 是 ε\varepsilon- 接近 yy，那么 yy 也是 ε\varepsilon - 接近 xx。

因为 xx 是 ε\varepsilon - 接近 yy。
所以 d(x,y)≤ε\mathsf{d}(x,y) \leq \varepsilon 。
所以 d(y,x)=d(x,y)≤ε\mathsf{d}(y,x) = \mathsf{d}(x,y) \leq \varepsilon
所以 yy 是 ε\varepsilon- 接近 xx。

（c） ε,δ>0\varepsilon ,\delta > 0，如果如果 xx 是 ε\varepsilon- 接近 yy 的， yy 是 δ\delta - 接近 zz 的。那么 xx 是 (ε+δ)(\varepsilon + \delta)- 接近 zz 的。

因为 xx 是 ε\varepsilon- 接近 yy 的， yy 是 δ\delta - 接近 zz 的。
所以 d(x,y)≤ε,d(y,z)≤δ\mathsf{d}(x,y) \leq \varepsilon, d(y,z) \leq \delta
因为 d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)≤ε+δ\mathsf{d}(x,z) \leq \mathsf{d}(x,y)+\mathsf{d}(y,z) \leq \varepsilon + \delta
所以 xx 是 (ε+δ)(\varepsilon + \delta)- 接近 zz 的。

（d）ε,δ>0\varepsilon ,\delta > 0，如果 xx 和 yy 是 ε\varepsilon- 接近的， zz 和 ww 是 δ\delta - 接近的。那么 x+zx + z 是 (ε+δ)(\varepsilon + \delta)- 接近 y+wy + w 的。而且 x−zx - z 是 (ε+δ)(\varepsilon + \delta)- 接近 y−wy - w 的。

因为 xx 和 yy 是 ε\varepsilon- 接近的， zz 和 ww 是 δ\delta - 接近的。
所以 d(x,y)≤ε,d(w,z)≤δ\mathsf{d}(x,y) \leq \varepsilon, \mathsf{d}(w,z) \leq \delta
因为 d(x+z,y+w)=|(x+z)−(y+w)|≤|x+y|+|z+w|≤ε+δ\mathsf{d}(x+z, y+w) = |(x + z) - (y + w)| \leq |x + y| + |z + w| \leq \varepsilon + \delta
所以 x+zx + z 是 (ε+δ)(\varepsilon + \delta)- 接近 y+wy + w 的。
因为 d(x−z,y−w)=|(x−z)−(y−w)|≤|x−y|+|w−z|≤ε+δ\mathsf{d}(x-z, y-w) = |(x - z) - (y - w)| \leq |x - y| + |w - z| \leq \varepsilon + \delta
所以 x−zx - z 是 (ε+δ)(\varepsilon + \delta)- 接近 y−wy - w 的。

（e）ε>0\varepsilon > 0，如果 xx 和 yy 是 ε\varepsilon- 接近的，那么对于每个 ε′>ε\varepsilon' > \varepsilon， xx 和 yy 也是 ε′\varepsilon'- 接近。

因为 xx 和 yy 是 ε\varepsilon- 接近的。
所以 d(x,y)≤ε\mathsf{d}(x,y) \leq \varepsilon
因为 ε′>ε\varepsilon' > \varepsilon
所以 d(x,y)≤ε<ε′\mathsf{d}(x,y) \leq \varepsilon
所以 xx 和 yy 也是 ε′\varepsilon'- 接近。

（f）ε>0\varepsilon > 0，如果 xx 和 yy 是 ε\varepsilon- 接近的，xx 和 zz 也是 ε\varepsilon- 接近的，并且 ww 介于 yy 和 zz 之间。那么 xx 和 ww 是 ε\varepsilon- 接近的。

因为 xx 和 yy 是 ε\varepsilon- 接近的，xx 和 zz 也是 ε\varepsilon- 接近的。
所以有 d(y,x)≤ε,d(z,x)≤ε\mathsf{d}(y, x) \leq \varepsilon, \mathsf{d}(z, x) \leq \varepsilon

对 ww 分类讨论：

(1) y≤w≤zy \leq w \leq z
所以 y−x≤w−x≤z−xy - x \leq w - x \leq z - x
如果 w−x≥0w - x \geq 0，那么有 |w−x|≤|z−x|≤ε|w - x| \leq |z-x| \leq \varepsilon
如果 w−x<0w - x ，那么有 |w−x|=x−w≤x−y≤|x−y|≤ε|w - x| = x - w \leq x - y \leq |x - y| \leq \varepsilon
所以 |w−x|≤ε|w - x| \leq \varepsilon

(2) z≤w≤yz \leq w \leq y
所以 y−x≥w−x≥z−xy - x \geq w - x \geq z - x
如果 w−x≥0w - x \geq 0，那么有 |w−x|≤|y−x|≤ε|w - x| \leq |y-x| \leq \varepsilon
如果 w−x<0w - x ，那么有 |w−x|=x−w≤x−z≤|x−z|≤ε|w - x| = x - w \leq x - z \leq |x - z| \leq \varepsilon
所以 |w−x|≤ε|w - x| \leq \varepsilon

综上，恒有 |w−x|≤ε|w - x| \leq \varepsilon
所以 xx 和 ww 是 ε\varepsilon- 接近的。

（g）ε>0\varepsilon > 0，如果 xx 和 yy 是 ε\varepsilon- 接近的，并且 z≠0z \neq 0，那么 xzxz 是 |z|ε|z| \varepsilon 接近 yzyz 的。

因为 xx 和 yy 是 ε\varepsilon- 接近的。
所以 d(y,x)=|x−y|≤ε\mathsf{d}(y, x) = |x - y| \leq \varepsilon。
因为 d(xz,yz)=|xz−yz|=|x−y||z|≤|z|ε\mathsf{d}(xz, yz) = |xz - yz| = |x - y| |z| \leq |z| \varepsilon
所以 xzxz 是 |z|ε|z| \varepsilon- 接近 yzyz 的。

4.3.3 设 xx 和 yy 是比例数，nn 和 mm 是自然数。

（a1）证明 xnxm=xm+nx^n x^m = x ^{m+n}

对 m 用数学归纳法。
m=0m = 0 时，xnx0=xnx^n x^0 = x^n
假设对 mm 成立。
那么对 m++m++，有 xnxm++=xnxmx=xm+nx=xn+(m++)x^n x^{m++} = x^n x^m x =x^{m+n} x = x^{n + (m++)}
所以 xnxm=xm+nx^n x^m = x ^{m+n}

（a2）证明 (xn)m=xnm(x^n) ^m = x^{nm}

m=0 m = 0 时， (xn)0=1=x0(x^n) ^0 = 1 = x^0
假设对 mm 成立。
那么对 m++m++，有 (xn)m++=(xn)m(xn)=xmn(xn)=xmn+n=xn(m++)(x^n)^{m++} = (x^n) ^m (x^n) =x^{mn} (x^n) = x^{mn + n} = x^{n(m++)}
所以 (xn)m=xnm(x^n) ^m = x^{nm}

（a3）证明 (xy)n=xnyn(xy)^n = x^n y^n

0=0 0 = 0 时， (xy)0=1=x0y0(xy)^0 = 1 = x^0 y^0
假设对 nn 成立。
那么对 n++n++，有 (xy)n+1=(xy)n(xy)=xnynxy=xn++yn++(xy)^{n+1} = (xy)^n (xy) = x^n y^n x y = x^{n++} y^{n++}
所以 (xy)n=xnyn(xy)^n = x^n y^n

（b）xn=0x^n = 0 当且仅当 x=0x = 0

先证明 (xn=0)⇒(x=0)(x^n = 0) \Rightarrow (x = 0)。
数学归纳法:
当 n=1n = 1 时，显然 (x1=x=0)⇒(x=0)(x ^ 1 = x = 0) \Rightarrow (x = 0)
假设对于 nn 成立，也就是 (xn=0)⇒(x=0)(x^n = 0) \Rightarrow (x = 0)
那么对于 n++n ++，有

xn++=0⇒xnx=0⇒(xn=0) or (x=0)⇒(x=0)

x^{n++} = 0\\ \Rightarrow x^n x = 0\\ \Rightarrow (x^n = 0) \ or \ (x = 0)\\ \Rightarrow (x = 0)
所以 (xn=0)⇒(x=0)(x^n = 0) \Rightarrow (x = 0) 对任意 n>0,n∈Nn > 0, n \in \mathbb{N} 成立。

再证明 (x=0)⇒(xn=0)(x = 0) \Rightarrow (x^n = 0)。
数学归纳法：
设 x=0x = 0，n=1n = 1 时，显然 x1=0x^1 = 0。
假设对于 nn 成立，也就是 xn=0x^n = 0
那么对于 n++n ++，有 xn++=xn×n=0x^{n++} = x^n \times n = 0
所以 (x=0)⇒(xn=0)(x = 0) \Rightarrow (x^n = 0) 对任意 n>0,n∈Nn > 0, n \in \mathbb{N} 成立。

所以 xn=0x^n = 0 当且仅当 x=0x = 0。

（c1）如果 x≥y≥0x \geq y \geq 0 那么 xn≥yn≥0x^n \geq y^n \geq 0。

数学归纳法：
已知 x≥y≥0x \geq y \geq 0 当 n=1n = 1 时，显然有 x1≥y1≥0x^1 \geq y^1 \geq 0。
假设对于 nn 成立，也就是 xn≥yn≥0x^n \geq y^n \geq 0
那么对于 n++n ++，有

xn++−yn++=≥=≥xnx−ynyxny−yny(xn−yn)y0

\begin{eqnarray} x^{n++} - y^{n++} &=& x^n x- y^n y \\ &\geq& x^n y - y^n y \\ & = & (x^n - y^n) y\\ &\geq & 0 \end{eqnarray}
所以 xn++≥yn++x^{n++} \geq y^{n++}
yn++=yn×y≥0y ^{n++} = y^n \times y \geq 0
所以 xn++≥yn++≥0x^{n++} \geq y^{n++} \geq 0

（c2）如果 x>y≥0x > y \geq 0 那么 xn>yn≥0x^n > y^n \geq 0。

数学归纳法：
已知 x>y≥0x > y \geq 0 当 n=1n = 1 时，显然有 x1>y1≥0x^1 > y^1 \geq 0。
假设对于 nn 成立，也就是 xn>yn≥0x^n > y^n \geq 0
那么对于 n++n ++，有

xn++−yn++=>=≥xnx−ynyxny−yny(xn−yn)y0

\begin{eqnarray} x^{n++} - y^{n++} &=& x^n x- y^n y \\ &>& x^n y - y^n y \\ & = & (x^n - y^n) y\\ &\geq & 0 \end{eqnarray}
所以 xn++>yn++x^{n++} > y^{n++}
yn++=yn×y≥0y ^{n++} = y^n \times y \geq 0
所以 xn++>yn++≥0x^{n++} > y^{n++} \geq 0

（d） |xn|=|x|n|x^n| = |x|^n

数学归纳法：
当 n=1n = 1 时，显然有 |x1|=|x|1=|x||x^1| = |x|^1 = |x|。
假设对于 nn 成立，也就是 |xn|=|x|n|x^n| = |x|^n
那么对于 n++n ++，有 |xn++|=|xnx|=|xn||x|=|x|n|x|=|x|n++|x^{n++}| = |x^n x| = |x^n||x| = |x|^n |x| = |x|^{n++}
所以 |xn|=|x|n|x^n| = |x|^n

4.3.4 设 xx 和 yy 是比例数，nn 和 mm 是整数。

（a1）证明 xnxm=xm+nx^n x^m = x ^{m+n}

先证明一个引理：当 nn 和 mm 是自然数并且 m≥nm \geq n 时， xm/xn=xm−nx^m / x^n = x^{m-n}。
设 q=m−n≥0q = m - n \geq 0

xmxn=xnxqxn=xq=xm−n

\frac{x^m}{x^n} = \frac{x^n x^q}{x^n} = x^q = x^{m - n}
证明另一个引理：当 nn 是自然数时有：

(1x)n=1xn

\left(\frac{1}{x}\right)^n= \frac{1}{x^n}
数学归纳法：
n=0n = 0 时

(1x)0=1=1x0

\left(\frac{1}{x}\right)^0 = 1 = \frac{1}{x^0}
假设对于 nn 成立。
那么对于 n++n++ 有：

(1x)n++=(1x)n1x=1xn1x=1xn++

\left(\frac{1}{x}\right)^{n++}= \left(\frac{1}{x}\right)^{n} \frac{1}{x} = \frac{1}{x^n} \frac{1}{x} = \frac{1}{x^{n++}}
所以对任意的自然数 nn 上述引理成立。

下面开始证明这道题，对 n,mn,m 分情况讨论：
(1) n≥0,m≥0n \geq 0, m \geq 0
由上题结论

xnxm=xm+n

x^n x^m = x ^{m+n}

(2) n<0,m≥0n 并且 m≥−nm \geq -n
设 q=−n≥0q = -n \geq 0

xnxm=xmxq=xm−q=xm+n

x^n x^m = \frac{x^m}{x^{q} } = x^{m - q} = x^{m + n}
(3) n<0,m≥0n 并且 −n≥m-n \geq m
设 q=−n≥mq = -n \geq m

xnxm=1xq/xm=1xq−m=1x−(m+n)=xm+n

x^n x^m = \frac{1}{x^{q} / x^m} = \frac{1}{x^{q-m}} = \frac{1}{x^{-(m + n)}} = x^{m+n}
(4) m<0,n≥0m

xnxm=xmxn=xn+m=xm+n

x^n x^m = x^m x^n = x^{n + m} = x^{m + n}
(5) n<0,m<0n

xnxm=1x(−n)1x(−m)=1x−(m+n)=xm+n

x^n x^m = \frac{1}{x^{(-n)}} \frac{1}{x^{(-m)}}=\frac{1}{x^{-(m+n)}}=x ^{m+n}

（a2）证明 (xn)m=xnm(x^n) ^m = x^{nm}

对 m,nm,n 分情况讨论：
(1) n≥0,m≥0n \geq 0, m \geq 0
由上题结论，此时有

(xn)m=xnm

(x^n) ^m = x^{nm}

(2)n≥0,m<0n \geq 0, m
设 q=−m≥0q = -m \geq 0

(xn)m=1(xn)q=1xnq=x−nq=xnm

(x^n) ^m = \frac{1}{(x^n)^{q}} = \frac{1}{x^{nq}}= x^{-nq} = x^{nm}

(3)m≥0,n<0m \geq 0, n
设 q=−n≥0q = -n \geq 0

(xn)m=(1xq)m=1xqm=xnm

(x^n) ^m = \left(\frac{1}{x^q}\right)^{m} = \frac{1}{x^{qm}}=x^{nm}

(4)m<0,n<0m
设 q=−m≥0q = -m \geq 0

(xn)m=1(xn)q=1xnq=1x−nm=xnm

(x^n) ^m = \frac{1}{(x^n)^{q}} = \frac{1}{x^{nq}} = \frac{1}{x^{-nm}} = x^{nm}

（a3）证明 (xy)n=xnyn(xy)^n = x^n y^n

当 n≥0n \geq 0 时，上题已经证明了 (xy)n=xnyn(xy)^n = x^n y^n。
当 n<0n 时，

(xy)n=1(xy)−n=1(x)−n1(y)−n=xnyn

(xy)^n = \frac{1}{(xy)^{-n}} = \frac{1}{(x)^{-n}} \frac{1}{(y)^{-n}}= x^n y^n

（b1）如果 x>y≥0x > y \geq 0 那么当 nn 是正数时 xn>yn≥0x^n > y^n \geq 0。

上道习题已经证明这个结论。

（b2）如果 x>y≥0x > y \geq 0 那么当 nn 是负数时 0≤xn<yn0 \leq x^n 。

当 nn 是负数时 −n-n 是正数。

x−n>y−n≥0 ⇒1xn>1yn≥0⇒yn>xn≥0

x^{-n} > y^{-n} \geq 0 \\\ \Rightarrow \frac{1}{x^n} > \frac{1}{y^n} \geq 0\\ \Rightarrow y^n > x^n \geq 0

（c）如果 x,y>0,n≠0x , y > 0, n \neq 0 并且 xn=ynx^n = y^n 那么 x=yx = y。

当 nn 是正数时，上题已经证明这个结论。
当 nn 是负数时 −n-n 是正数。

xn=yn ⇒1x−n=1y−n⇒y−n=x−n⇒x=y

x^{n} = y^{n} \\\ \Rightarrow \frac{1}{x^{-n}} = \frac{1}{y^{-n}}\\ \Rightarrow y^{-n} = x^{-n}\\ \Rightarrow x = y

（d） |xn|=|x|n|x^n| = |x|^n

分类讨论：
(1) n≥0n \geq 0 由上题结论 |xn|=|x|n|x^n| = |x|^n
(2) n<0n

|xn|====∣∣∣1x−n∣∣∣1|x−n|1|x|−n|x|n

\begin{eqnarray} |x^n| &=& \left|\frac{1}{x^{-n}}\right | \\ &=& \frac{1}{|x^{-n}|} \\ &=& \frac{1}{|x|^{-n}} \\ &=& |x|^n \end{eqnarray}

4.3.5 证明对任何正整数 N ，都有2N>N 2^N > N

用数学归纳法，当 n = 1 时。 21=2>12 ^ 1 = 2 > 1
假设当 n=Nn = N 时 2N>N2^N > N 成立。

那么当 n=N++n = N++ 时， 2N++=2N×2>2N≥N++2^{N++} = 2^N \times 2 > 2 N \geq N++
所以对任意的正整数 N ，都有2N>N 2^N > N