费马小定理欧拉定理逆元

费马小定理：
若 ppp 为素数且 a,pa,pa,p 互素，则 ap−1≡1(modp)a^{p-1} \equiv 1 \pmod pap−1≡1(modp)
欧拉定理：
欧拉函数 φ(m)\varphi (m)φ(m) 表示 111 到 mmm 中与 mmm 互素的个数
若 a,ma,ma,m 互素,则 aφ(m)≡1(modm)a^{\varphi(m)} \equiv 1\pmod maφ(m)≡1(modm)

例题：汉堡与三明治

遇到计算 12(mod10007)\frac{1}{2} \pmod {10007}21(mod10007) 等价于 1∗(2的逆元)1*{(2的逆元)}1∗(2的逆元)

计算时乘以 500450045004 就相当于乘以 12\frac{1}{2}21

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=10007;
const int MAXN=2005;
int f[MAXN][MAXN];
bool mem[MAXN][MAXN];
int q(int n,int a,int b)
{if(mem[a][b]) return f[a][b];mem[a][b]=1;if(n==1){if(a==0) return 0;if(b==0) return 1;return f[a][b]=5004;}else{if(a==0) return 0;if(b==0) return 1;return f[a][b]= ( 5004*q(n-1,a-1,b)%mod + 5004*q(n-1,a,b-1)%mod ) %mod;}
}
int n,a,b;
int main()
{cin>>n>>a>>b;cout<<q(n,a,b)%mod;return 0;
}

例题：无尽的循环

首先，根据题意可推出以下方程：
a+cx≡b(mod2k)a+cx\equiv b\space \pmod {2^k}a+cx≡b (mod2k) , 若 xxx 有解则循环次数有限，无解则无限
等价于
cx≡b−a(mod2k)cx\equiv b-a\pmod{2^k}cx≡b−a(mod2k)

最后使用快速幂即可

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a,b,c,k,mod;
int get_pow(int x,int p)
{int res=1,base=x;while(p>0){if(p & 1) res=(res*base)%mod;base=base*base%mod;p>>=1;}return res;
}
void print(int x)
{while(x<0)x+=mod;cout<<x%mod;
}
signed main()
{cin>>a>>b>>c>>k;mod=1LL<<k; int p = (1<<(k-1)) - 1;  int t = b-a;if(c%2!=0)print( (t*get_pow(c,p))%mod );else{while(c%2==0){if(t%2==0) c/=2, t/=2, mod/=2;else {puts("Inf"); return 0;}}int p = (mod>>1) - 1;print( (t*get_pow(c,p))%mod );}return 0;
}

例题：哈希碰撞

朴素的解法是枚举每一位的字母，时间复杂度为 O(26n)O(26^n)O(26n)，此题最高为 261026^{10}2610

考虑折半搜索，复杂度降为 265+265<<261026^5+26^5<<26^{10}265+265<<2610

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int m,n,t,mod,inv;
int get_pow(int a,int b)
{int base=a, res=1;while(b>0){if(b&1) res*=base, res%=mod;base*=base, base%=mod;b>>=1;}return res;
}int cnt[1<<25];void f1(int x,int s)
{if(x==n/2) {cnt[s]++; return ;}for(int i=1;i<=26;i++)f1(x+1,((33*s)^i)%mod);
}int f2(int x,int target)
{if(x==n/2)   return cnt[target];int res=0;for(int i=1;i<=26;i++){int new_target=( (target^i)*inv ) % mod;res+=f2(x-1,new_target);}return res;
}
signed main()
{cin>>m>>t>>n; mod=(1<<m);inv=get_pow(33,(1<<(m-1))-1);f1(0,0);cout<<f2(n,t);return 0;
}

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