1 离散傅里叶级数

1.1 离散傅里叶级数（DFS）

1.2 离散傅里叶级数的性质

2 离散傅里叶变换

2.1 离散傅里叶变换（DFT）

2.2 离散傅里叶变换的性质

2.3 频域采样定理

2.4 离散傅里叶变换的应用

3 快速傅里叶变换

3.1 按时间抽取的基2FFT算法（DIT-FFT）

3.2 按频率抽取的基2FFT算法（DIF-FFT）

3.3 快速傅里叶反变换

3.4 N为合数的FFT算法

3.5 分段卷积

3.6 实序列的FFT算法实现

1 离散傅里叶级数

1.1 离散傅里叶级数（DFS）

1. 傅里叶变换的几种可能形式：

连续时间，连续频率——傅里叶变换（FT）
连续时间，离散频率——傅里叶级数（FS）
离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换（DTFT）
离散时间，离散频率——离散傅里叶变换（DFT）

2. 离散傅里叶级数

$\tilde{x}(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$

3. 周期序列的离散傅里叶级数变换对

$\tilde{X}(k)=\mathrm{DFS}[\tilde{x}(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)W_{N}^{kn}, -\infty <k<\infty$

$\tilde{x}(n)=\mathrm{IDFS}[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{X}(k)W_{N}^{-kn}, -\infty <n<\infty$

其中

$W_{N}=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$

$\tilde{X}(k)$ 是周期为N的离散周期信号。

4. DFS与Z变换的关系

周期序列DFS可以看作是 $\tilde{x}(n)$ 的一个周期x(n)做Z变换，再将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角 $\frac{2\pi }{N}$ 抽样而得到。

1.2 离散傅里叶级数的性质

线性
周期序列的移位
调制特性
周期卷积

$\tilde{x_{1}}(n)*\tilde{x_{2}}(n)=\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{x_{1}}(m)\tilde{x_{2}}(n-m)$

周期卷积与线性卷积的不同之处在于周期卷积仅在一个周期内求和。

2 离散傅里叶变换

2.1 离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换

$\tilde{X}(k)=\mathrm{DFS}[\tilde{x}(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)W_{N}^{kn}, 0<k<N-1$

$\tilde{x}(n)=\mathrm{IDFS}[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{X}(k)W_{N}^{-kn}, 0<n<N-1$

DFT实际上是DFS的主值，DFT隐含了周期性。x(n)的N点DFT对应x(n)的Z变换在单位圆上N个等间隔点的采样。

2.2 离散傅里叶变换的性质

线性
对称性：设x(n)为长度为N的实序列

$X(k)=X^{*}(N-k)$

循环移位（圆周移位）
循环卷积（圆周卷积）

$x_{1}(n)\circledast *x_{2}(n)=\sum_{m=0}^{N-1}x_{1}(m)x_{2}((n-m))_{N}\cdot R_{N}(n)$

计算过程：补零，周期延拓，翻褶，移位取主值序列，相乘相加。

循环卷积是周期卷积取主值，周期卷积是线性卷积的周期延拓。当 $L\geqslant 2N-1$ 时，可以用长度为L的循环卷积计算两个长度为N的序列的线性卷积。

2.3 频域采样定理

时域抽样造成频域周期延拓，频域抽样造成时域周期延拓。当频域采样点数 $N\geqslant M$ 时，频域采样X(k)可以不失真地恢复x(n)。进一步可以通过x(n)得到X(z)，实现由DFT到ZT的重构，也可以由DTFT与ZT的关系得到傅里叶变换的内插公式。

2.4 离散傅里叶变换的应用

混叠现象
频谱泄露：时域加窗造成频域的拖尾现象；
栅栏效应：可通过增大频域采样的N值，减小频率分辨率来减少栅栏效应；
频率分辨率F：决定记录连续信号的最小时间长度；
物理频率分辨率：序列的傅里叶变换能够分辨的最小频率；
计算频率分辨率：DFT谱线间的距离。

3 快速傅里叶变换

3.1 按时间抽取的基2FFT算法（DIT-FFT）

算法原理： $W_{N}^{nk}$ 的对称性、周期性和可约性。

对时间进行奇偶分解，得到

$\left.\begin{matrix} x(2r)=g(r)\\ x(2r+1)=h(r) \end{matrix}\right\}r=0,...,\frac{N}{2}-1$

带入DFT公式，得到

$X(k)=\sum_{0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{N}^{2rk}+\sum_{0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{N}^{(2r+1)k}$

$X(k)=\sum_{0}^{\frac{N}{2}-1}g(r)W_{N}^{2rk}+W_{N}^{k}\sum_{0}^{\frac{N}{2}-1}h(r)W_{N}^{2rk}$

由于可约性

$W_{N}^{2n}=e^{-j\frac{2\pi }{N}2n}=e^{-j\frac{2\pi }{\frac{N}{2}}n}=W_{\frac{N}{2}}^{n}$

得到X(k)的前半部分

$X(k)=G(k)+W_{N}^{k}H(k), k=0,...,\frac{N}{2}-1$

考虑到 $W_{\frac{N}{2}}^{k}$ 的的周期性有

$\left\{\begin{matrix} G(\frac{N}{2}+k)=G(k)\\ H(\frac{N}{2}+k)=H(k) \end{matrix}\right.$

考虑到 $W_{N}^{k}$ 的对称性有

$W_{N}^{(\frac{N}{2}+k)}=W_{N}^{\frac{N}{2}}W_{N}^{k}=-W_{N}^{k}$

因此得到X(k)的后半部分

$X(\frac{N}{2}+k)=G(k)-W_{N}^{k}H(k), k=0,...,\frac{N}{2}-1$

继续分解，最终得到表示算法的蝶形图如下

同址运算（原位计算）：每一组运算结果仍存放在同一组存储器中；
变址运算：乱序输入，顺序输出，乱序符合码位倒读规则；
FFT的运算量：（M为分解的级数）

N点DFT的运算量：N^2次复乘，N(N-1)次复加。

3.2 按频率抽取的基2FFT算法（DIF-FFT）

DIF-FFT是将时间前后分，频率偶奇分。与DIT-FFT不同的是，DIT-FFT的计算是先复乘后复加，而DIF-FFT是先复加后复乘。

3.3 快速傅里叶反变换

下图所示为按时间抽取的IFFT流程图

3.4 N为合数的FFT算法

如果N不为2的幂，通常有两种处理办法：

用补零的方法延长x(n)；
采用以任意数为基数的FFT算法。

一个N=pq点的DFT可以用p个q点DFT来组成

3.5 分段卷积

输入为有限长序列的有限冲激响应（FIR）系统输出可以利用DFT得到，但在实现时存在一定的问题。由于输入序列的长度不确定，无法预先设置DFT的点数进行计算，所以需要先得到所有输入序列的样本，但会导致较大的延迟，这个问题可以利用分段卷积的方法解决。

1. 重叠相加法：将x(n)分成若干长为L的段

计算h(n)的N点FFT，N=L+M-1；
计算 $x_{k}(n)$ 的N点FFT，N=L+M-1；
计算 $Y_{k}(k)=X_{k}(k)\cdot H_{k}(k)$ ；
求 $Y_{k}(k)$ 的N点反变换，得到 $y_{k}(n)$ ；
将 $y_{k}(n)$ 的重叠部分相加，得到最后输出

$y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }y_{k}(n)$

2. 重叠保留法：将x(n)划分为若干长度为N的序列，每段与其前一段重叠M-1个点，计算循环卷积（M<N）并去掉重叠的部分，拼接得到最终结果，如下图所示。

3.6 实序列的FFT算法实现

如果x(n)为实序列，有如下三种处理方式：

1. 把实序列x(n)看作虚部为0的复序列，直接调用FFT；

2. 把两个N点的实序列x(n)和h(n)构造复序列y(n)

$y(n)=x(n)+jh(n)$

对y(n)进行N点FFT，得到

$\left.\begin{matrix} X(k)=Y_{ep}(k)=\frac{1}{2}[Y(k)+Y^{*}(N-k)]\\ H(k)=-jY_{op}(k)=\frac{1}{2j}[Y(k)-Y^{*}(N-k)] \end{matrix}\right\}, k=0,...,N-1$

3. x(n)为N点实序列，取x(n)的偶数点和奇数点构造y(n)的实部和虚部

$y(n)=x(2n)+x(2n+1)=x_{1}(n)+x_{2}(n), n=0,...,\frac{N}{2}-1$

对y(n)做N/2点FFT得到Y(k)

$\left.\begin{matrix} X_{1}(k)=Y_{ep}(k)\\ X_{2}(k)=-jY_{op}(k) \end{matrix}\right\}, k=0,...,\frac{N}{2}-1$

根据DIT-FFT的思想可以得到

$X(k)=X_{1}(k)+W_{N}^{k}X_{2}(k), k=0,...,\frac{N}{2}-1$

由于x(n)为实序列，X(k)具有共轭对称性，则X(k)的另N/2个点的值为

$X(N-k)=X^{*}(k), k=1,...,\frac{N}{2}-1$

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