数字信号处理学习笔记（二）|快速傅里叶变换

快速傅里叶变换(FFT)

一、FFT出现的原因

对x（n）进行N点DFT计算，一共有N² 次乘法，N²次加法
如果N=1024，则有2*1048576次计算，计算量过于庞大。
FFT的思想就是：不断把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用W_N^kn的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。

二、DIT-FFT

（1）8点DFT一次时域抽取分解运算

经过一次分解后，计算1个N点DFT共需要计算两个N/2点DFT和N/2个蝶形运算。而计算一个N/2点DFT需要(N/2)²次复数乘法和N/2(N/2-1)次复数加法。仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。

（2）8点DFT二次时域抽取分解运算

经过第二次分解，又将N/2点DFT分解为2个N/4点DFT和N/4个蝶形运算，而1点DFT就是时域序列本身。

（3）DIT-FFT与DFT运算量的比较

设N=2^M ,有M级蝶形。每一级都由N/2个蝶形运算构成。每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加

下图显示了DIT-FFT与DFT运算量的比较，可以直观看出FFT算法的优越性。N越大时，优越性就越明显。

三、用Python实现FFT算法

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft, ifft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mplmpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 显示负号# 采样点选择1400个
x = np.linspace(0, 1, 1400)# 设置需要采样的信号，频率分量有200，400和600
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x)fft_y = fft(y)  # 快速傅里叶变换N = 1400
x = np.arange(N)  # 频率个数
half_x = x[range(int(N / 2))]  # 取一半区间abs_y = np.abs(fft_y)  # 取复数的绝对值，即复数的模(双边频谱)
angle_y = np.angle(fft_y)  # 取复数的角度
normalization_y = abs_y / N  # 归一化处理（双边频谱）
normalization_half_y = normalization_y[range(int(N / 2))]  # 由于对称性，只取一半区间（单边频谱）plt.subplot(411)
plt.plot(x[0:50],y[0:50])
plt.title('原始波形')plt.subplot(412)
plt.plot(x, angle_y, 'violet')
plt.title('双边相位谱', fontsize=9, color='violet')plt.subplot(413)
plt.plot(x, normalization_y, 'g')
plt.title('双边振幅谱', fontsize=9, color='green')plt.subplot(414)
plt.plot(half_x, normalization_half_y, 'blue')
plt.title('单边振幅谱', fontsize=9, color='blue')plt.show()

数字信号处理学习笔记（二）|快速傅里叶变换相关推荐

[MATLAB学习笔记]采用快速傅里叶变换求时间序列的周期项
[MATLAB学习笔记]采用快速傅里叶变换求时间序列的周期项 1. 背景现有长度为11年的5个时间序列,为某拟研究对象的5个参数.现计划先通过快速傅里叶变换求每个系数序列的显著周期项,再分别按照傅里 ...
【数字信号处理 | 学习笔记】二、离散傅里叶变换及其快速算法
目录 1 离散傅里叶级数 1.1 离散傅里叶级数(DFS) 1.2 离散傅里叶级数的性质 2 离散傅里叶变换 2.1 离散傅里叶变换(DFT) 2.2 离散傅里叶变换的性质 2.3 频域采样定理 2. ...
数字信号处理学习笔记（一）|离散傅里叶变换
离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)的实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样,实现了频域离散化,使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方 ...
【DSP数字信号处理学习笔记】—— 详细推导DFT的快速实现算法：FFT 基于库利-图基算法的实现
引言:尽管离散傅里叶变换(DFT)让频谱分析技术在计算机上的实现成为可能,但是受限于DFT算法庞大的计算量 O(N2)O(N^2)O(N2),使得DFT在一开始并没有被广泛使用,直到快速傅里叶变换算法 ...
【算法竞赛学习笔记】快速傅里叶变换FFT-数学提高计划
tilte : 快速傅里叶变换FFT学习笔记 tags : ACM,数论 date : 2021-7-18 简介 FFT(Fast Fourier Transformation),中文名快速傅里叶变换 ...
数字信号处理学习（二）：振动与信号
(以下内容纯粹抄书.书名:<数字信号处理的Matlab实现>) 通过读书,以早日学会随机场的生成! ---------------------- S 2.1 振动概述对于简谐无阻尼振动, ...
数字信号处理学习笔记[0] 连续信号的频谱和傅氏变换
文章目录绪论 1 连续信号的频谱和傅氏变换 1.1 有限区间上连续信号的傅氏级数和离散频谱 1.2 傅氏变换,连续信号与频谱 1.2.3 频谱的基本性质实际应用举例习题绪论 Q: 举例说明&q ...
数字信号处理学习笔记
文章目录信号处理离散时间信号与系统为什么要处理信号信号是如何处理的信号处理的目的数字信号的表示信号的分类 DSP 和 ASP 数字信号处理的特点数字信号处理的应用两类DSP 数字信号 ...
数字信号处理学习笔记（三）|时域离散系统的网络结构
时域离散系统的网络结构一.何为网络结构网络结构如同差分方程.单位脉冲响应以及系统函数一样,描述了一个系统实现方法的表达形式. 例如给定一个差分方程:y(n)=0.8y(n-1)-0.15y(n-2 ...