应用场景
当想要比较变量间变化趋势时，可以先做出散点图从视觉上判断是否存在相关性（趋势一致）。然后再采用相关性分析从统计角度衡量。

1. pearson correlation coefficient（皮尔森相关性系数）

定义
两个变量X,Y的皮尔森相关系数等于它们的协方差cov(X,Y)cov(X,Y)cov(X,Y)除以各自的标准差乘积σXσY\sigma_X \sigma_YσXσY
ρ(X,Y)=cov(X,Y)σXσY\rho(X,Y)=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} ρ(X,Y)=σXσYcov(X,Y)

反应了两个向量变化趋势的方向以及程度。输出范围为-1到1，0代表无相关性，负值为负相关，正值为正相关。

要求

向量X,Y的标准差不能为0（分母不能为0），即向量不能由相同元素组成。
实验数据之间的差距不能太大，皮尔森相关性系数受异常值的影响比较大
实验数据假设是成对的来自于正态分布的总体。

实现
基于pandas.dataFrame实现

import numpy as np
import pandas as pdx = np.arange(10)
y = np.random.randint(0, 11, 10)
df = pd.DataFrame({'A': x,'B': y
})
df.corr()       # .corr()默认实现皮尔森相关系数

2. Spearman correlation coefficient（斯皮尔曼秩相关系数）

定义
“秩”可以理解为一种排序或顺序，它就是根据原始数据排序位置进行求解。这种表征形式就没有了皮尔森相关系数的限制（不会因为异常值或者元素值相同而导致结果的异常）。
rs=1−6∑di2n(n2−1)r_s = 1- \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)} rs=1−n(n2−1)6∑di2

实现

import numpy as np
import pandas as pdx = np.arange(10)
y = np.random.randint(0, 11, 10)
df = pd.DataFrame({'A': x,'B': y
})
df.corr('spearman')       # .corr('spearman')

3. Kendall correlation coefficient（肯德尔相关系数）

定义
肯德尔相关性系数，又称肯德尔秩相关系数。它也是一种秩相关系数。计算对象是分类变量（无序、有序分类变量）
实现

import numpy as np
import pandas as pdx = np.arange(10)
y = np.random.randint(0, 11, 10)
df = pd.DataFrame({'A': x,'B': y
})
df.corr('kendall')

4. 综合应用

import numpy as np
import pandas as pddef Pearson(df):return df.corr()def Spearman(df):return df.corr('spearman')def Kendall(df):return df.corr('kendall')if __name__ == '__main__':df = pd.DataFrame({'A': np.arange(10),'B': np.random.randint(0, 11, 10)})print('Pearson')print(Pearson(df))print('Spearman')print(Spearman(df))print('Kendall')print(Kendall(df))

Pearson
A B
A 1.000000 0.083736
B 0.083736 1.000000
Spearman
A B
A 1.000000 0.048781
B 0.048781 1.000000
Kendall
A B
A 1.000000 0.068199
B 0.068199 1.000000

参考资料

[1]统计学之三大相关性系数（pearson、spearman、kendall）_t15600624671的博客-CSDN博客_统计学之三大相关性系数
[2]统计学中三大相关系数_Li_318的博客-CSDN博客_三大相关系数
[3]W. XU, C. CHANG, Y. S. HUNG, S. K. KWAN, AND P. C. W. FUNG, Order statistics correlation coeffificient as a novel association measurement with applications to biosignal analysis, IEEE Transactions on Signal Processing, 55 (2007), pp. 5552–5563.

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