三大相关系数：pearson, spearman, kendall

统计学中的三大相关性系数：pearson, spearman, kendall，他们反应的都是两个变量之间变化趋势的方向以及程度，其值范围为-1到+1。

0表示两个变量不相关，正值表示正相关，负值表示负相关，值越大表示相关性越强。

1. person correlation coefficient(皮尔森相关性系数)

皮尔逊相关系数通常用r或ρ表示，度量两变量X和Y之间相互关系(线性相关)

(1)公式

皮尔森相关性系数的值等于它们之间的协方差cov(X,Y)除以它们各自标准差的乘积(σX, σY)。

(2)数据要求

a.正态分布

它是协方差与标准差的比值，并且在求皮尔森相关性系数以后，通常还会用t检验之类的方法来进行皮尔森相关性系数检验，而t检验是基于数据呈正态分布的假设的。

b.实验数据之间的差距不能太大

比如：研究人跑步的速度与心脏跳动的相关性，如果人突发心脏病，心跳为0(或者过快与过慢)，那这时候我们会测到一个偏离正常值的心跳，如果我们把这个值也放进去进行相关性分析，它的存在会大大干扰计算的结果的。

(3)实例代码

import pandas as pd

import numpy as np

#原始数据

X1=pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 6])

Y1=pd.Series([0.3, 0.9, 2.7, 2, 3.5, 5])

X1.mean() #平均值# 3.5

Y1.mean() #2.4

X1.var() #方差#3.5

Y1.var() #2.9760000000000004

X1.std() #标准差不能为0# 1.8708286933869707

Y1.std() #标准差不能为0#1.725108692227826

X1.cov(Y1) #协方差#3.0600000000000005

X1.corr(Y1,method="pearson") #皮尔森相关性系数 #0.948136664010285

X1.cov(Y1)/(X1.std()*Y1.std()) #皮尔森相关性系数 # 0.948136664010285

2. spearman correlation coefficient(斯皮尔曼相关性系数)

斯皮尔曼相关性系数，通常也叫斯皮尔曼秩相关系数。“秩”，可以理解成就是一种顺序或者排序，那么它就是根据原始数据的排序位置进行求解

(1)公式

首先对两个变量(X, Y)的数据进行排序，然后记下排序以后的位置(X’, Y’)，(X’, Y’)的值就称为秩次，秩次的差值就是上面公式中的di，n就是变量中数据的个数，最后带入公式就可求解结果。

(2)数据要求

因为是定序，所以我们不用管X和Y这两个变量具体的值到底差了多少，只需要算一下它们每个值所处的排列位置的差值，就可以求出相关性系数了

(3)实例代码

import pandas as pd

import numpy as np

#原始数据

X1=pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 6])

Y1=pd.Series([0.3, 0.9, 2.7, 2, 3.5, 5])

#处理数据删除Nan

x1=X1.dropna()

y1=Y1.dropna()

n=x1.count()

x1.index=np.arange(n)

y1.index=np.arange(n)

#分部计算

d=(x1.sort_values().index-y1.sort_values().index)**2

dd=d.to_series().sum()

p=1-n*dd/(n*(n**2-1))

#s.corr()函数计算

r=x1.corr(y1,method='spearman')

print(r,p) #0.942857142857143 0.9428571428571428

3. kendall correlation coefficient(肯德尔相关性系数)

肯德尔相关性系数，又称肯德尔秩相关系数，它也是一种秩相关系数，不过它所计算的对象是分类变量。

分类变量可以理解成有类别的变量，可以分为：

(1) 无序的，比如性别(男、女)、血型(A、B、O、AB)；

(2) 有序的，比如肥胖等级(重度肥胖，中度肥胖、轻度肥胖、不肥胖)。

通常需要求相关性系数的都是有序分类变量。

(1)公式

R=(P-(n*(n-1)/2-P))/(n*(n-1)/2)=(4P/(n*(n-1)))-1

注：设有n个统计对象，每个对象有两个属性。将所有统计对象按属性1取值排列，不失一般性，设此时属性2取值的排列是乱序的。设P为两个属性值排列大小关系一致的统计对象对数

(2)数据要求

类别数据或者可以分类的数据

(3)实例代码

import pandas as pd

import numpy as np

#原始数据

x= pd.Series([3,1,2,2,1,3])

y= pd.Series([1,2,3,2,1,1])

r = x.corr(y,method="kendall") #-0.2611165