BSGS 大步小步算法

BSGS 大步小步算法，也叫拔山盖世算法，实质也是就利用分块+预处理的方式，来高效的解决 Ax≡B(modC)A^x\equiv B (modC)Ax≡B(modC) 求最小的x 的问题。求中 C 为质数，对 C 不是质数的情况要用到 EXBSGS 即扩展大步小步算法。（待更）

对于 C 为质数的情况则 A,C 互质。根据扩展欧几里得的定理 Ax≡Axmodϕ(C)(modC)A^x\equiv A^{x\mod \phi(C)} \ (mod\ C)Ax≡Axmodϕ(C) (mod C)

C为质数 ϕ(C)=C−1\phi(C)=C-1ϕ(C)=C−1 ，所以对于上述 x 如果有解则一定存在 <=C 的解。

令 m=ceil(sqrt(C))m=ceil(sqrt(C))m=ceil(sqrt(C)) ceil 是向上取整。

则x可表示为 x=i∗m−jx=i*m-jx=i∗m−j（1<=i<=m,0<=j<m1<=i<=m,0<=j<m1<=i<=m,0<=j<m） i 最大到m就行了，因为有解的话次幂不会超过 C.

则原式可以化为 Ai∗m−j≡B(modC)A^{i*m-j}\equiv B (modC)Ai∗m−j≡B(modC)

Ai∗m≡Aj∗B(modC)A^{i*m}\equiv A^j*B (modC)Ai∗m≡Aj∗B(modC)

因为要找最小的x， x的大小主要是有 i 决定，所以我们可以先预处理 A^j * B % C (0<=j<m) 存到 map中，或者手写hash，然后枚举 i 找到最小的满足 Ai∗m≡Aj∗B(modC)A^{i*m}\equiv A^j*B (modC)Ai∗m≡Aj∗B(modC) 就行了。 x=i*m-j。时间复杂度 O(n\sqrt{n}n)

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