BSGS（拔山盖世算法），北上广深算法

2024-05-23 15:14:27

1.引入

BSGS算法又名拔山盖世算法，也叫北上广深算法，也叫大步小步算法，总之就是名字很多了，但是实际上他就是一个解决同余方程给定a,b,p，求最小的非负整数x，满足 ax ≡ b(mod p)。

2.过程

先令 x = i*m-j，其中 m=ceil(sqrt(p))，ceil是向上取整。

这样原式就变为 ai*m-j = b (mod p)，

移项就变成了 ai*m = b*aj (mod p)

枚举j (范围0-m) ,将 b*aj 存入hash表。

枚举i (范围1-m) ,从hash表中寻找第一个满足ai*m = b*aj (mod p)。

此时 x = i*m-j 就是所要求的。

3.原因：

先令 x = i*m-j，其中 m=ceil(sqrt(p))，ceil是向上取整。

这样原式就变为 ai*m-j = b (mod p)，

移项就变成了 ai*m = b*aj (mod p)

枚举j (范围0-m) ,将 b*aj 存入hash表。

枚举i (范围1-m) ,从hash表中寻找第一个满足ai*m = b*aj (mod p)。

此时 x = i*m-j 就是所要求的。

模板

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;map<ll,int> mp;
ll pow(ll a,ll b,ll mod)
{ll ans=1;for(;b>0;b/=2){if(b%2==1)ans=(ans*a)%mod;a=a*a%mod;}return ans;
}int main()
{ll a,b,c;mp.clear();while(scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF){if(a%c==0){printf("No solution\n");continue;}int flag=0;ll m=ceil(sqrt(c));ll ans;for(int i=0;i<=m;i++){if(i==0){ans=b%c;mp[ans]=i;continue;}ans=(ans*a)%c;mp[ans]=i;}ll cur=pow(a,m,c);ans=1;for(int i=0;i<=m;i++){ans=(ans*cur)%c;if(mp[ans]){int t=i*m-mp[ans];printf("%d\n",(t%c+c)%c);flag=1;break;}}if (!flag)printf("no solution\n");}return 0;
}

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