【规律】Hzy's Rabbit Play

题目描述

Hzy在和她的n只兔兔玩。
兔兔们站成一行，每次，Hzy可以选择一个区间[l,r]，然后抱抱区间里的所有兔兔，并获得等同于区间长度r−l+1的愉悦度。每个区间Hzy只能选择一次，请问Hzy一共能获得多少愉悦度？
因为这个数太大了，所以Hzy只需要你输出这个数对109+7取模后的结果。

输入

一行一个正整数n，表示Hzy的兔兔的数量（n≤1018）。

输出

一行一个正整数，表示Hzy获得的总愉悦度对109+7取模后的结果。

样例输入

样例输出

【小结】：

一开始自己开始做，一直以为这是一道规律题，后来发现，是推公式的。

首先你写出前5组事例，就是n=[1,5]，然后发现这是一个组合数

他的规律就是：C(n+2,n-1)

我以为可以套用Lucas来写的，后来发现自己还是年轻了点，因为时间过不去。

超时代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod = 1e9+7;
ll qmul ( ll a, ll b ){ll ans=0;while(b){if(b&1){ans=(ans+a)%mod;}a=(a+a)%mod;b>>=1;}return ans;
}
ll qpow ( ll a, ll b ){ll ans=1;a=a%mod;while(b){if(b&1){ans=qmul(ans,a);}a=qmul(a,a);b>>=1;}return ans%mod;
}
ll C(ll n,ll m){if(m>n) return 0;ll ans=1;for (ll i=1;i<=m;i++){ll a=(n+i-m)%mod;ll b=i%mod;ans=ans*(a*qpow(b,mod-2)%mod)%mod;}return ans;
}
ll Lucas (ll n,ll m){if ( m==0 ) return 1;return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;}
/*ll solve(ll n){ll ans=0;ans=qmul(qpow(n,2),(n+1))*qpow(2,mod-2)%mod;ans=(ans-qmul(n,(n+1))*qpow(2,mod-2)%mod+mod)%mod;ans=(ans-qmul(qmul(n,(n+1)),(2*n+1))*qpow(6,mod-2)%mod+mod)%mod;return ans;
}*/
int main()
{ll n;scanf("%lld",&n);printf("%lld\n",Lucas(n+2,n-1));return 0;
}

后来发现，这个原来要推公式来做的，

公式就是。

以n=5为例子：

然后大家看：

ans=5*1+4*2+3*3+2*4+1*5

推广到n。

ans=n*(1) + (n-1) * 2 +(n-2) *3+ ……+(1)*n

ans=n*(1) + (n-1) * 2 +(n-2) *3+ ……+(n-(n-1))*n

ans=(1+2+……+n)*n-1*2-2*3-……-(n-1)*n

分成两部分，

前半部分直接套用等差数列前n项求和公式即可，后半部分，我都不会推导，然后我找到的百度帮忙。

求：1*2+2*3+3*4+……+(n-1)*n

应该是1*2+2*3+3*4+...+n(n+1) 吧
一。n(n+1)=n^2+n
原式=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2)+(1+2+3+...+n)
分组求和，根据公式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6以及 1+2+3+...+n=n*(n+1)/2
所以原式=n(n+1)(2n+1)/6 + n*(n+1)/2 =(n+2)(n+1)n/3
二。裂项求和。
n(n+1)=[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
也就是 1*2=(3*2*1-2*1*0)/3,
2*3=(4*3*2-3*2*1)/3.....
所以原式=(3*2*1-2*1*0)/3 + (4*3*2-3*2*1)/3 +(5*4*3-4*3*2)/3 +...+[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
中间项都可以消去
=(n+2)(n+1)n/3

求出来了，然后代入求解就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod = 1e9+7;
ll qmul ( ll a, ll b ){ll ans=0;while(b){if(b&1){ans=(ans+a)%mod;}a=(a+a)%mod;b>>=1;}return ans;
}
ll qpow ( ll a, ll b ){ll ans=1;a=a%mod;while(b){if(b&1){ans=qmul(ans,a);}a=qmul(a,a);b>>=1;}return ans%mod;
}
ll C(ll n,ll m){if(m>n) return 0;ll ans=1;for (ll i=1;i<=m;i++){ll a=(n+i-m)%mod;ll b=i%mod;ans=ans*(a*qpow(b,mod-2)%mod)%mod;}return ans;
}
ll Lucas (ll n,ll m){if ( m==0 ) return 1;return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;}
ll solve(ll n){ll ans=0;ans=qpow(n,3);ans=(ans+3*qpow(n,2)%mod)%mod;ans=(ans+2*n%mod)%mod;ans=ans*qpow(6,mod-2)%mod;return ans;
}
int main()
{ll n;scanf("%lld",&n);printf("%lld\n",solve(n));return 0;
}

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