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1、 上(下)三角矩阵的乘积、逆仍为上(下)三角矩阵 2、 AB 与 BA 迹相同 trABtrBA，如果 A 或者 B 可逆，则 AB 与 BA 特征值相同 1、 1 1 1 1 BAtrabbaABtr mkni kiiknimk ikki 2)、 BAIBABIBBAIAABIA 11 ，或者由 ，两边取行列式并令其为令，即得到证明。 3、 有上条性质可知不存在满足 AB-BAI 条件的方阵 A、 B 因为 trAB-BAtrAB-trBA0 trIn 4、 A 和 B 都严格对角占优，但是 A B 未必严格对角占优(例 B-A 或者 BA) 5、 A 和 B 可逆时 1) 1 condA，因为 I AA-1I A A-1 I两边消去 I即得 2) 由 1)得到 A 1/ A-1， A-1 1/ A 3) 与 2)对比有 A A， A-1 1/ A 4) 如果 A 1 时 0kkkAa 收敛，则 0kkk Aa 必 发散，而 A 1 时 0kkkAa 发散，则 0kkk Aa 未必收敛 6、 condAB condAcondB，利用范数相容性立即可得 由此引出的不等式 A-1-B-1 A-1 B-1 A-B 因为 A-1- B-1 B-1- A-1 B-1I- BA-1 B-1A- BA-1 B-1 A- B A-1 对应地有 A-B A B A-1- B-1 7、 A 非奇异， B奇异，则对于算子范数有 1/CondA A-B / A 因为 B 奇异，则存在 y 0，使得 By0，从而有 xy/ y 0， x 1，并且 Bx0，A-1Bx0， x-A-1Bxx， A-1A-Bxx， 1 x A-1A-Bx1maxx A-1A-Bx A-1A-B A-1 A-B，两边除 A即可得证。 由 6) -7)组合，还可以得到更多的不等式。 8、 正规阵同时又是三角阵，则它一定是对角阵 9、 酉阵同时又是三角阵，则它一定是对角阵，并且对角元的模为 1 10、 对称矩阵的奇异值是特征值的绝对值 n阶实对称矩阵如果有 n个互异的奇异值，则它有 n个互异的特征值 11、 相似变换、酉变换、正交变换不改变方阵的迹和行列 式 因为上述变换不改变特征值，从而不改变特征值的和和乘积，从而也不改变迹与行列式。 12、 酉变换、正交变换不改变向量的 2-范数，从而不改变两点之间的欧几里得距离。 13、 酉阵特征值的模为 1，正交阵特征值的绝对值为 1 14、 x 和 e-x在任何区间 a,b上线性无关 设 cxde-x0，因为 e-x永远不为零，如果 c 0，那么有 x/e-x-d/c，显然 x/e-x在任何区间都不会是一个常数，从而必须 c0，这样一来 d 只有为零，因此只有当 cd0 等式才成立，线性无关。 15、 如果 A 1则 I-A-1 1/1- A 因为 A A 1， 0kkA 收敛到 s0kkA ,两边乘 I-A不影响收敛性， ( I-A) sI-A0kkA I-limAkI，所以0k kA I-A-1， I-A-10k kA 0kkA 1/( 1- A)，同理可证 IA-1 1/1- A 16、 如果 IA奇异，则对一切范数 A 1 17、 A Cn*n,对任意范数有， lim AAk kk 首先存在某种范数 * AAAAA kkkkk ，而 所以 /1 * AAAAA kkkkk ，取 Ak 得到 2 * AAA kkk ，对不等式同时取极限即得到 lim * AAk kk 再根据范数的等价性 *2*1 kkk AcAAc 对不等式 同时取极限即得到 对任意范数的结果 lim AAk kk 18、 A非奇异，对算子范数有 AxAx 111 min 因为 AxxAxyAyAAyAyyyAAx 11111111 m i nm i nm i nm i n m a x 19、 ni iHF AAtrA 12 20、FFH AUAV 21、 ,1 AC o ndAC o ndI 22、 x,y 为向量，则有平行四边形关系 22222222 21 yxyxyx 23、 A Cn*n，并且为 Hermite 正定阵，则 Axxx H 为范数 正性和齐次性好证明，只证三角不等式 yxAxyyxAyyAxxyUDxUDyUDUDxAyxUDUDAdAU D UAH e r m it eAHHHHHHHHHHiiH同理可得，正定，于是对角阵，并且阵有为,0 2/12/12/12/12/12/1所以 AxyAyxAyyAxxyxAyxyx HHHHH 22222 2 yxyxyx 24、222 AAA TH , 222 AC o n dAAC o n d H , 25、 222 AAA H 26、 A 为 Hermite 阵 ，则212 AnAAA 27、 A 为 Hermite 阵， AAA 12228、 A Cn*n，则 IAkk lim的充要条件为 AI 因为 AIAAAAAI kkkkkk 111 limlimlim所以 AI 同理如果 BAkk lim，并且 B 可逆，则 BI 29、 证明 1) A 为实斜对称阵，则 eA为正交阵 ( A-AT) 2) A 为 Hermite 阵，则 eiA 为酉阵 AHA 证明 1) ATAAAAATAA eeIeeeeeee T 0 2) iAHiAiAiAiAiAiAiAHiAiA eeIeeeeeeeee HH 0 30、 A Cn*n， A 2 1，证明 LnIA 2 A 2/1- A 2 因为 . . ./1. . . . . . .3/2/1 132 nxxxxxLn nn 收敛半径 r1, A A 2 1，所以 LnIA收敛， 220 221 212122 1 AAAAAkAkAAILnkkkkkkkk 31、 1 0 0,s in,3223 AAeA At求 32、 xn1 xn的迭代收敛条件， 1)映内性 xn a,b， xn a,b 2)压缩性 L 1 停机判据11 kkk xxLLx ，收敛速度011 xxLLxkk 33、 Newton 迭代法，单根为二阶收敛 221121 lim2 lim kkkkkkkk xxxxffcxx 34、 Newton 迭代法，重根变线性收敛，如果知道重数 m， 1 kkkk xf xfmxx 仍二阶收敛 35、 Newton 迭代法中， 1 kkkk xf xfxx 下山因子 ，则无法下山，要另选初始点 36、 弦 割法 111 kk kkkkk xfxf xxxfxx的收敛阶为 1.618 37、 分半法的收敛速度为( b-a) /2n-1 38、 Aitken 加速公式11211112,,kkkkkkkkkkk xxxxxxxxxxx 39、 Jacobi、 Gauss-Seidel 和超松弛 SOR法的分量形式和矩阵形式 ( J) 1,11 nijjkjijiiiki xabax bDxULDx kk 111 G-S 111111 nijkjijijkjijiiiki xaxabax ， bLDUxLDx kk 111 SOR 1111111 1,1 kikikinijkjijijkjijiiiki xxxxaxabax bLDxUDLDx kk 111 1 40、 迭代法 fBxx kk 1 中， 1 B 时收敛， 1B 更收敛 41、 矩阵 A 严格对角占优， Jacobi 法和 Gauss-Seidel 法收敛 42、 1 B 时可以得到超松弛法中 20 ， 1B 时也 是如此 43、 Legendre 正交多项式， 12 1,1,1,1 2 nnnnn xdxdnxPxx 非标准正交 11 12 20nmnnmdxxPxPnm前几项 , .3521,1321,,1 332210 xxxPxxPxxPP 递推公式 11 12 11 xPn nxxPnnxP nnn Gauss-Legendre 机械求积公式 02,2,0,0 1 10 fdxxfAxn 有 1 阶代数精度 3131,1,31,1 1 110 ffdxxfAAxn ，有 3 阶代数精度 53950985395,98,95,53,0,2 1 1120 fffdxxfAAAxn 有 5 阶代数精度 一般地 , . . .3,2,1,0,1 12 212 kxPn xA kn kk它的一般求积系数和零点复杂，但是权函数为 1，在积分中不出现， 20nk kA 44、 Chebyshev 正交多项式， a r c c osc os ,11,1,12 xnxTxxx n 零点为 , . . .3,2,1,0,12 12c o s nknkx k 递推公式 2 11 xTxxTxT nnn 前几项 188,34,121 244332210 xxTxxTxTxTT 非标准正交 11 2002011nmnmnmdxxTxTx nm Gauss-Chebyshev 机械求积公式 1 1 200 01 02c os ,0 fdxxxfAxn 有 1 阶代数精度 212121 ,2,214 12c os ,1 1 1 2101,0 ffdxxxfAAkxn 有 3 阶代数精度 2 302 331 ,3,2 3,0,2 1 1 2220 fffdxxxfAAAxn 有 5 阶代数精度 一般地 , . . .3,2,1,0,12 12c o s ,1 nknkxnA kk 因此它的求积系数和零点简单，缺点是权函数不整齐， nk kA045、 利用两点 Chebyshev 求积公式和利用 Legendre 机械求积公式 212112121121 1 1 1 221 1 ffdxx xfxdxxf 31311 1 ffdxxf 两者都 3 次代数精度，对 dcxbxaxxf 23 精确 46、 利用三点 Legendre 机械求积公式 5322952985322952222 11abbafbafabbafabdttabbafabdxxfba 47、 如果 10 bafdxxfx ，如何选择 a,b 使之有更高的代数精度 令 fx1、 x，53,52015232,320132 25102310 bxbx d xxxadxx于是 22710210 5332720172,5332 xdxxxfdxxfx 此时，因此该公式最多有 1次代数精度 47、如果 110 cfbafdxxfx ，如何选择 a,b,c 使之有更高的代数精度 令 fx1、 x， x2,520152,320132 25102310 xcabx d xxxcadxx720172 272102 xcabdxxx ，方程联立解出 15173157,51,73,157 10 ffdxxfxcba 于是 33291033 15173157920192, xdxxxxxf 此时再令 因此该公式最多有 2 次代数精度，不够理想。 48、 AAkkAAAA kkkkkk l i m03203002,l i m,l i m21 但是例如但是 49、 Householder 镜像变换 1,22 TIH有 IHHHHHH TT 21 , H 变换特征值为 1，奇异值为 1， 1det H ，因为 12122121,01,0,2,)，()平行)；如果(正交)如果xxxxxxxxxxxHxTTTTTTTT 50、 利用 H 变换可将任意向量 x，变为等长度的向量 y，222, yx yxyx 为镜面 H的标准法向量 51、 利用复化梯形公式和 Simpson公式求 20 cos dxx ，如果误差小于 0.01区间应该分几份 6.434.0/2/,34.0,01.0120s in 2s in 1212222habhhhafbfhITn至少要分 5 份，计算 6 个函数值 67.032.2/2/,32.2,01.0288 00s i n 2s i n 288 0211804444habhhhafbfhISn只利用原区间即可，计算 3 个函数值。 以上公 式在估算面积近似值时，要理解为有向面积的代数和，并不代表实际面积误差，特别当 afbf 或 afbf 等零或者很小时，不能简单套用。 52、 复内积 ,,,1yxyxxyyxyxxyyx ni iiH 由此( 一般实内积 2211 ,,,, ffffgyfxfwgfyxwyxni iiini iii 由此 53、 函数内积 22,, ffffgdxxgxfxgf ba 54、 正定矩阵 0,0 Axxx T有 如果 A 正定， 的任意主子式正定的顺序主子式正定， AAa ii ,0 55、 Gauss 消去法乘除次数 333323 nonnn ，加减次数 36523323 nonnn 加减乘除总次数 323no 存储量 nn 2 ， Gauss 选主元增加比较次数 33no ， Gauss 选主元消去法计算量为 3no 56、 Cholesky 分解法 A(对称) ALDLT，( A 又还正定)， ALLT，如果 指定 A 各对角元符号(例如都大于零)， 则 ALLT唯一。 乘除次数 62961323 nonnn ，加减次数 67661323 nonnn 加减乘除再加开方总次数 32253323 noncnn 存储量 nnn 121，数值稳定不用选主元 57、 追赶法矩阵满足 1, . ,3,20,011 nicababcb iiinn， 意味着 1)对角占优， 2)不可再降阶。则解存在且唯一 存储量 4n，加减乘除总次数 8n-7 58、 有最小值时，证明 ARA 1223 解 有最小值时，于是所以又因为AxxxxxxxxxxxxxxxAxAxTxxxx1,4,4m a x 2,3m a x,1,11,2,3m a x23m a x223m a xm a x212112121121211211159、 010 10 cfbfafdxxf ，如何选择 a,b,c 使之有更高的代数精度 60、 20 2sin dxbxax ，如何选择 a,b 使积分值最小，并求出最小值 61、 21 2200 dxxcxbax ，如何选择 a,b,c 和 1， 2上三个正交的多项式,, 210 xx 使积分值最小 62、 用 Gauss-Chebyshev 三点求积公式，计算 310 316xxxdx 63、 确定常数 p,q,r，使如下迭代法收敛到52213 , kkkk xraxqapxxa ，该方法至少几阶 解 91,95,0,0,,3“333522rqpaaaaxraxqapxx解出令