时域测量与频域测量方法的分析

引言：

要对时域测量和频域测量方法进行分析，就要先明白什么是时域什么是频域。

时域：

时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。在分析研究问题时，以时间作基本变量的范围。

频域：

相对于时域概念类似。频域（frequency domain）是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部份，而不是和时间有关的部份。即在分析研究问题时，以频率作基本研究变量。

举个例子就是

经过傅立叶变换后的时域信号。自变量是频率,其横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,表达信号的频率成分.

那么时域测量和频域测量呢？

测量被测对象在不同时间的特性，即把它看成是一个时间的函数f(t)来测量，称为时域测量。

　　对同一个被测对象，也可以测量它在不同频率时的特性，亦即把它看成是一个频率的函数S(ω)来测量，这称为频域测量。

时域测量：主要测量被测量随时间的变化规律。如用示波器观察正弦信号、脉冲信号的上升沿、下降沿、等参数及动态电路和暂态过程等。

　频域测量：主要目的是获取待测量与频率之间的关系。如用频谱分析仪分析信号的频谱、测量放大器的幅频特性、相频特性等。

信号的时域分析和频域分析

首先我们来看一个简单的周期矩形脉冲信号

假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E,重复周期为T，

那么在时域测量中我们能得到什么信息呢？

首先我们可以测量出信号的周期T,脉冲的宽度τ，以及脉冲幅度E

通过时域的测量我们可以完全的复制出一个相同的信号。在时域的测量中我们可以得到一些关于被测物最直观的信息。那么关于该信号的更深层次的信息呢，我们无从得知。好吧，那我们将该信号进行傅立叶变换，变换到频域看能得到什么。

利用matlab1

f=100; % frequency of wave

time=0.1; % total time in seconds

Ts=1/10000; % sampling interval

t=Ts:Ts:time; % define a "time"vector

w=square(2*pi*f*t); % define the sine wave

figure(1)

plot(t,w) % plot the sine vs. time

生成矩形脉冲

添加如下代码：

y=fftshift(fft(w));

figure(2)

plot(t,y);

生成一个傅立叶变换后的波形。这是一个sa函数的波形。那么我们来进行一下理论计算。

假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E,重复周期为T

1. 求f(t)的复数振幅和展开成傅里叶级数

此等式是三角傅里叶级数展开式，由此作出单边谱。

上式为指数傅里叶展开式，由此画出双边谱。

2.画频谱图
由复振幅cn的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是抽样函数。

sin（x）/x
1)找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为 cn=2eτ/T* [sin(nW1τ/2)]/(nw1τ/2) ,与横轴的交点由下式决定：

若这些频率恰好基波频率恰好是基波频率的整数倍，则相应的谐波为零。所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件：一是谐波条件；二是谐波为零的条件。

2)粗略求出各次谐波的振幅值
由的表达式可知,当时τ/T=1/3，最大值为2Eτ/T=2*E/3，即当T/τ=3，第一个零点内含有二条谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。

3）相位的确定

将w1=2Pi/t代入可知，cn=(2E/npi)*sin(nτpi/T)，当角度nτpi/T在第一、二象限时为正实数，即相位为零；当角度nτpi/t在第三、四象限时为负实数，即相位为π。

3.频谱特点分析
    1)频谱是离散的,两谱线间的距离为基波频率w1=2pi/T,脉冲周期越大，谱线越密。
    2)由c0=Eτ/t知：各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。当E变大时,τ变大，则各次谐波的幅度愈大；T变大,则谐波幅度愈小。
    3)各谱线的幅度按sa(nτpi/T)包络线变化,当nw1τ/2=mpi时，谱线的包络经过零值。
    4)主要能量在第一过零点内。主带宽度为：Bw=2Pi/τ

Fft变换后，时域点与频域点的对应关系。

对于时域测量我们自然不必细说，大家一看就明白。

来说说频域。

首先，是关于频谱图的看法。

注意:横坐标是频率，纵坐标是幅值。

在我们以上matlab仿真图仿真出来的sa函数的基本特征就是

随着频率的增加，信号的幅值不断减小。

那么fft变换之后时域点和频域点有什么对于关系吗？

那么我们回到从头，看看他们是怎么来的。

一个模拟信号，经过ADC采样之后，就成为了数字信号。这里的一个知识点就是根据奈奎斯特采样频率定理，采样频率要大于信号最高频率的两倍。

采样之后得到的就是数字信号了，之后就可以进行FFT变换了。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取２的整数次方。

假设采样频率为Fs,信号频率F，采样点数为N，那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

那么具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？

假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点，（除了第一个点直流分量外），他们的模值就是A的N/2倍。而每个点的相位呢？就是该频率下该点的相位。

第一个点表示该信号的直流分量（即为0HZ），则最后一个点N的下一个点便是采样频率Fs。这中间把N-1个点分成了N等分，每个点的频率依次增加。则某点n的频率Fn=（n-1）*Fs/N。从上面的公式可以看出Fn所能分辨出的频率为Fs/N。即如果采样频率Fn为1024Hz，那么采样点为1024个，则可分辨的频率为1Hz。

也就是说，1024Hz的采样信号，采样1024个点，即为1秒则可分析到1Hz，如果采样2秒，则可以分析到2Hz。由此可知频率分辨率采样时间是一个倒数的关系。

时域测量和频域测量的区别

由时域变换到频域，我们分析信号的频谱特性。从中我们得到了信号中包含的各种频率分量的幅值、功率、能量和相位关系，

如果说频域测量和时域测量的区别的话。

从我的视角来看：

时域测量是宏观上的，只告诉我们关于信号直观的周期，幅值。

而在频域测量呢，我们进入到了信号内部。可以知道组成该信号的各自信号的频率，幅值，相位，以及功率。

然而这有什么意义呢？

频域测量的意义

要想回答这个问题，我们先要来看看频域是如何得到的。通过上面的那个例子。我们知道通过傅立叶变换可以把时域信号变换到频域信号。

那么傅立叶变换的原理是什么呢？物理意义是什么呢？

傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

这样我们就清楚了，傅立叶变换将在时域貌似杂乱无章无法进行简单分析的信号，转化到频域，通过分析组成该信号的谐波分量的频率，幅值，相位。来进行相应的处理，计算，最后还可以通过傅立叶反变换将这些频域信号转换回时域信号。

正弦信号合成方波信号

那么我们来做一个例子。

最开始的时候我对周期矩形脉冲信号进行傅立叶变换得到了一个sa函数的形式，其实是多个谐波分量的叠加。那么我们进行多个谐波分量相叠加后是不是会得到我们所要的原始信号呢？我们来试一试。

我们将N个不同频率的余弦信号叠加（信号频率逐渐升高），看得到什么结果。

利用matla

t=-2：0.001：2；

c0=0.5；

xN=c0*ones（1，length（t））；

for n=1：2：N

xN=xN+cos（pi*n*t）*sinc（n/2）;

end

plot(t,xN);

我们先令N=5

得到的波形是：

然后我们再令

N=10

首先我们验证了傅立叶变换的原理，任何信号都可以分解成无限个正弦或余弦信号的叠加。

同时我们也发现越是陡峭的波形，高次谐波分量越多。

这样在对信号进行傅立叶变换后，我们就可以知道这个信号里面含有的是更多的高次谐波，还是低次谐波，在我们进行信号滤波时，如何实际硬件电路有重要意义。

总结：

无论是时域测量，还是频域测量。都是人们认识事物的一种手段。从不同的域，就类似于从不同的视角。随着科技的发展，早期的时域测量在信号的处理中显示出了越来越多的不便。而频域测量却满足了人们更深层次的认识信号的目的。频域测量提供了另外一个视角，也是现代通信技术发展的基础。

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