O'Stolz 定理及其应用

2024-05-09 07:24:29

1. 基本形式

对于 ⋆∞\frac{\star}{\infty}（分母为无穷大，分子无要求），设两数列 an,bn{a_n}, {b_n}，满足：

bn{b_n} 严格单调递增；
limn→∞bn=∞\lim\limits_{n\to \infty} b_n=\infty

如果有 limn→∞an+1−anbn+1−bn=L\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L（LL 为有限实数），则：

limn→∞anbn=limn→∞an+1−anbn+1−bn=L

\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L

2. 等价形式

3. 简单应用

算法的时间复杂度相关的分析证明中，常见的一个结论是：

limn→∞logn!nlogn=1

\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\log n!}{n\log n}=1

证明：

limn→∞logn!nlogn===limn→∞log(n+1)!−logn!(n+1)log(n+1)−nlognlimn→∞log(n+1)nlog(1+1n)+log(n+1)limn→∞log(n+1)1+log(n+1)=1

\begin{split} \lim\limits_{n\to \infty}\frac{\log n!}{n\log n}=&\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\log (n+1)!-\log n!}{(n+1)\log (n+1)-n\log n}\\ =&\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\log (n+1)}{n\log(1+\frac1n)+\log (n+1)}\\ =&\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\log(n+1)}{1+\log(n+1)}=1 \end{split}

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