知识

tips

1. 0的阶乘为1

2. 不定积分要加C

3. 椭圆的面积为 pi * a * b

和差化积

证明过程

华里士公式

Stolz 定理

不等式

柯西—施瓦茨不等式

Jensen不等式

上凸 / 下凹函数：

单位球面上的特殊曲面积分

特殊导数

特殊定积分

高阶导数的运算法则

莱布尼茨公式

平面方程

截距式

设平面与 x、y、z 轴分别交于 (a, 0, 0)、(0, b, 0)、(0, 0, c) 三点，则平面方程为：

积分

变限积分求导公式

当变限积分中被积函数连续时，变限积分可导

积分中值定理

曲线积分与曲面积分

高斯公式

空间几何

空间内某一点到直线的距离公式

设是直线外一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为。

则到直线的距离

函数与极限

等价无穷小量

介值定理

两个重要极限

导数与微分

导数的基本公式

微分中值定理与导数的应用

拉格朗日中值定理

泰勒公式

带佩亚诺型余项的泰勒公式

带拉格朗日型余项的泰勒公式

不定积分

含 ln 的解法

微分方程

一阶线性微分方程的通解

求解过程中不用带绝对值符号 / 添加额外的常数C

n阶非齐次线性微分方程通解的结构

= 对应齐次方程通解 + 非齐次方程的一个特解

二阶常系数齐次线性方程通解的求法

多元函数微分法及其应用

多元复合函数的求导法则

曲面的法线

切平面方程

点法式

混合偏导数相等

多元函数的极值

重积分

利用极坐标计算二重积分

利用柱面坐标计算三重积分

利用球面坐标计算三重积分

三重积分换元法

无穷级数

交错级数收敛

比较审敛法

比值审敛法

傅里叶级数

狄利克雷收敛定理

幂级数

收敛半径与收敛域

和函数的定义域即为收敛域

曲线积分与曲面积分

曲线积分与路径无关

格林公式及其应用

第十三届初赛

【答案】 1

【答案】

经观察易得圆柱面的中心轴线方程，再通过圆柱面上的点到中心轴线的距离为固定值列出等式，化简后即可得到答案

【答案】

二.

将该等式转化为，再通过证明其单调减少且有下界得出结论

三.

有界函数

四.

五.

六.

第十二届初赛

二.

三.

四.

五.

六.

第十一届初赛

四.

六.

第十届初赛

三.

证不等式右侧时：

五.

用一元辅助函数表示 f(x,y)，再通过拉格朗日中值定理求解

第九届初赛

注意最后的答案形式

三.

将曲线参数化（x y z 用一个变量来表示）

五.

对于题中形式的定积分，要么求导（变限积分），要么对 t 积分

第八届初赛

二.

将 a 换为 x，通过构造函数求解

第七届初赛

二.

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[数学竞赛] 历年题回顾

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和差化积

华里士公式

Stolz 定理

不等式

单位球面上的特殊曲面积分

特殊导数

特殊定积分

高阶导数的运算法则

平面方程

积分

曲线积分与曲面积分

空间几何

函数与极限

等价无穷小量

介值定理

两个重要极限

导数与微分

导数的基本公式

微分中值定理与导数的应用

拉格朗日中值定理

泰勒公式

不定积分

含 ln 的解法

微分方程

一阶线性微分方程的通解

n阶非齐次线性微分方程通解的结构

二阶常系数齐次线性方程通解的求法

多元函数微分法及其应用

多元复合函数的求导法则

曲面的法线

切平面方程

混合偏导数相等

多元函数的极值

重积分

利用极坐标计算二重积分

利用柱面坐标计算三重积分

利用球面坐标计算三重积分

三重积分换元法

无穷级数

交错级数收敛

比较审敛法

比值审敛法

傅里叶级数

幂级数

曲线积分与曲面积分

曲线积分与路径无关

格林公式及其应用

第十三届初赛

第十二届初赛

第十一届初赛

第十届初赛

第九届初赛

第八届初赛

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