知识点一(极限与连续)

求极限的常用方法

① 利用极限的定义

数列极限的定义：；

函数极限的定义( )：

.

类似可定义其它形式下的函数极限.

② 利用单调有界准则和夹逼准则

熟悉数列极限和函数极限的单调有界准则.

利用夹逼准则可以证明下面的极限.

这一结论可以推广为：

和

③ 利用两个重要极限

，或=.

、由重要极限及变量替换可以求下列极限：

其中，，极限过程 改为其它情形也有类似的结论.

、 设，则利用重要极限有：

其中.

④ 利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限

、无穷小量乘以有界函数仍是无穷小量；

、熟悉常见的无穷小量：当时,有

～～～～～～；； ；，等等.

、求极限过程中，可以把积和商中的无穷小量用与之等价的无穷小量替换，加与减不能替换.

、无穷小量与无穷大量之间的关系：如果为无穷大,则为无穷小;反之，如果为无穷小,且,则为无穷大.

⑤ 利用极限与左右极限的关系

存在的充要条件是.

⑥ 利用极限的和、差、积、商运算法则

应当注意的是：参与运算的每个函数的极限都要存在，而且函数的个数只能是有限个，在作商的运算时，还要求分母的极限不为零.

利用Stolz定理：设数列单调增加且，若或存在，则有，由此可以证明下面的平均值定理

⑦ 利用函数的连续性

函数 在 处连续，则

⑧ 利用导数的定义

⑨ 利用定积分的定义求和式的极限

⑩ 利用洛必达法则求未定式的极限或利用带有佩亚诺( )型余项的泰勒公式求极限

(3)无穷大量与无穷小量

① 无穷大量是绝对值无限增大的一类变量，它不是什么绝对值很大的固定数；无穷小量以零为极限的一类变量，它也不是什么绝对值很小的固定数.

② 无穷大的倒数是无穷小量；无穷小的倒数是无穷大.

③ 无穷小是以零为极限的变量，因此，和、差、乘积的极限运算法则自然也适用于无穷小，但商的极限运算法则不适用于无穷小，因为这时分母的极限为零，另外，无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.

④ 两个无穷小之商的极限，一般说来随着无穷小的不同而不同，从而产生了两个无穷小之间的“高阶”、“同阶”、“等价”等概念，它们反映了两个无穷小趋于零的快慢程度.

⑤ 如果以A为极限，则是无穷小；反之亦然.

3、 连续函数

(1)函数在处连续定义的三种不同表达形式是

①

②

③，使当时，.

这最后一种表达形式与的表达形式十分相似，差异在于极限定义中的不等式；这里变成了变成了.因为在探讨连续性时，必须要求在处有定义，且极限值A必须为.

(2)连续函数的和、差、积、商在它们共同有定义的区间仍为连续函数.

(3)连续函数的复合函数仍为连续函数.

(4)单调连续函数有单调连续的反函数.

(5)一切初等函数在其定义区间内都连续.

(6)闭区间上的连续函数有下列重要性质：

①必在上有界且取得最大值与最小值(有界、最大、最小值定理)

②必在上取得介于与之间的任何值(介值定理)；

③必在上取得最大值与最小值之间的任何值；

④如果，则在开区间内至少有一点使得.

③、④两个性质是介值定理②的推论.

(7)间断点的分类

典型例题：

例 1 求极限?

解 把换成, 可得

又因为

?

所以

.

因此

?

例2. 证明：数列收敛，并求其极限。

证明：设该数列通项为，则，令，则f(2)=2，，由拉格朗日中值定理得：

存在介于x，2之间，使得，

，

，由题意得，

即，则

由且，

由夹逼定理得即，同理可得，

练习：

利用极限四则运算法则

1

2 讨论它的连续性 不连续

利用两个重要极限求极限

1、 1

2、当常数 ，

3、

3、利用洛必达法则求未定式极限

1、

2、

3、

4、

4、利用等价无穷小

1、 1

2、 4

5、利用左右极限的关系求极限

1、