连续型概率分布——正态分布（二维）

1. 定义：设二维连续型随机变量（X，Y)的联合概率密度为

其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均为常数，且σ1>0, σ2>0, |ρ|<1则称（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二维正态分布。

记作（X，Y）~N（μ1，μ2，σ1²，σ2²，ρ）

二维正态分布的密度函数如下图

显然f(x,y)>=0

可以验证

2. 关于二维正态分布，需掌握如下结论：

（1）二维正态分布的两个边缘分布均为一维正态分布。

即由（X，Y）~N（μ1，μ2，σ1²，σ2²，ρ）可得X~N（μ1，σ1²），Y~N（μ2，σ2²）。

证明：略

（2）若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件为X与Y的相关系数ρ等于零（即不相关）。

独立和不相关的关系：独立一定不相关，不相关不一定独立。

但是，对于二维正态分布：独立=不相关

例题：设二维随机变量（X，Y）~N（1，0，3²，4²，-0.5），令Z=X/3+Y/2，求EZ，DZ以及ρxz.

答案：略

（3）设（X，Y）~N（μ1，μ2，σ1²，σ2²，ρ），则X与Y的非零线性组合aX+bY仍然服从正态分布，且

aX+bY ~N（aμ1+bμ2， a²σ1²+b²σ2²+2abρσ1σ2）其中a,b不全为0

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