优化问题-LP，QP和QCQP（线性规划，Linear Programming； 二次规划，Quadratic Programming；二次约束二次规划）
文章目录
- 线性规划（LP）
- LP的一些例子：
- Chebyshev中心
- ℓ∞\ell_{\infty}ℓ∞-norm 近似问题：
- ℓ1\ell_{1}ℓ1-norm 近似问题：
- 二次规划（QP）
- QP的例子：
- 有界约束最小二乘问题
- 多面体的距离
- 二次约束二次规划（QCQP）
- QP和QCQP在beamforming设计中的应用
- 接收波束成形：平均旁瓣能量最小化
- 接收波束成形：最大旁瓣能量最小化
- QCQP在认知无线电(cognitive radio)发射beamforming的应用
线性规划（LP）
LP问题的一般形式为：
mincTxs.t. Gx⪯h（6.1）\begin{array}{ll} \min & \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\ \text { s.t. } & \mathbf{G x} \preceq \mathbf{h} \end{array}（6.1） min s.t. cTxGx⪯h（6.1）
本质：LP问题即是在多面体上找到一个可行解使得线性目标函数最小。
LP的一般形式可以转化为标准形式，即引入松弛变量：
s≜h−Gx\mathbf{s} \triangleq \mathbf{h}-\mathbf{G} \mathbf{x} s≜h−Gx
作为助变量。则（6.1）可以表示为：
mincTxs.t. s⪰0,h−Gx=s（6.2）\begin{array}{ll} \min & \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\ \text { s.t. } & \mathbf{s} \succeq \mathbf{0}, \mathbf{h}-\mathbf{G} \mathbf{x}=\mathbf{s} \end{array}（6.2） min s.t. cTxs⪰0,h−Gx=s（6.2）
进一步：x=x+−x−\mathrm{x}=\mathrm{x}_{+}-\mathrm{x}_{-}x=x+−x−，其中x+,x−⪰0\mathrm{x}_{+}, \mathrm{x}_{-} \succeq 0x+,x−⪰0，则（6.2）可以等价为：
min[cT−cT0T][x+x−s]s.t. [x+x−s]⪰0,[G−GI][x+x−s]=h（6.3）\begin{array}{ll} \min & \left[\begin{array}{lll} \mathbf{c}^{T} & -\mathbf{c}^{T} & 0^{T} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \mathbf{x}_{+} \\ \mathbf{x}_{-} \\ \mathbf{s} \end{array}\right] \\ \text { s.t. } & \left[\begin{array}{c} \mathrm{x}_{+} \\ \mathrm{x}_{-} \\ \mathrm{s} \end{array}\right] \succeq 0, \quad\left[\begin{array}{lll} \mathbf{G} & -\mathbf{G} & \mathbf{I} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \mathrm{x}_{+} \\ \mathrm{x}_{-} \\ \mathrm{s} \end{array}\right]=\mathrm{h} \end{array}（6.3） min s.t. [cT−cT0T]⎣⎡x+x−s⎦⎤⎣⎡x+x−s⎦⎤⪰0,[G−GI]⎣⎡x+x−s⎦⎤=h（6.3）
（6.3）可以重新表示为标准LP形式：
mincTxs.t. x⪰0,Ax=b\begin{array}{ll} \min & \boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x} \\ \text { s.t. } & \boldsymbol{x} \succeq \mathbf{0}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \end{array} min s.t. cTxx⪰0,Ax=b
其中
A=[G−GI],c=[cT−cT0T]T,x=[x+Tx−TsT]T\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} \mathbf{G} & -\mathbf{G} & \mathbf{I} \end{array}\right], \quad c=\left[\mathbf{c}^{T}-\mathbf{c}^{T} \mathbf{0}^{T}\right]^{T}, \quad x=\left[\mathbf{x}_{+}^{T} \mathbf{x}_{-}^{T} \mathbf{s}^{T}\right]^{T} A=[G−GI],c=[cT−cT0T]T,x=[x+Tx−TsT]T
其中x\boldsymbol{x}x是未知变量。
LP的一些例子：
Chebyshev中心
考虑欧式球B(xc,r)={x∣∥x−xc∥2≤r}B\left(\mathbf{x}_{c}, r\right)=\left\{\mathbf{x} \mid\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{c}\right\|_{2} \leq r\right\}B(xc,r)={x∣∥x−xc∥2≤r}以及多面体P={x∣aiTx≤bi,i=1,…,m}\mathcal{P}=\{\mathbf{x} \mid\left.\mathbf{a}_{i}^{T} \mathbf{x} \leq b_{i}, i=1, \ldots, m\right\}P={x∣aiTx≤bi,i=1,…,m}
Chebyshev问题描述为，在多面体P\mathcal{P}P中找到最大的欧式球，如下图所示。该问题表示为：
maxxc,rrs.t. B(xc,r)⊆P={x∣aiTx≤bi,i=1,…,m}（6.6）\begin{array}{rl} \max _{\mathbf{x}_{c}, r} & r \\ \text { s.t. } & B\left(\mathbf{x}_{c}, r\right) \subseteq \mathcal{P}=\left\{\mathbf{x} \mid \mathbf{a}_{i}^{T} \mathbf{x} \leq b_{i}, i=1, \ldots, m\right\} \end{array}（6.6） maxxc,r s.t. rB(xc,r)⊆P={x∣aiTx≤bi,i=1,…,m}（6.6）
该问题看起来是非凸的，但可以转化为LP。考虑欧式球的另一种定义：
B(xc,r)={xc+u∣∥u∥2≤r}B\left(\mathbf{x}_{c}, r\right)=\left\{\mathbf{x}_{c}+\mathbf{u} \mid\|\mathbf{u}\|_{2} \leq r\right\} B(xc,r)={xc+u∣∥u∥2≤r}
考虑Cauchy-Schwartz inequality：有：
aiTu≤∥ai∥2⋅∥u∥2\mathbf{a}_{i}^{T} \mathbf{u} \leq\left\|\mathbf{a}_{i}\right\|_{2} \cdot\|\mathbf{u}\|_{2} aiTu≤∥ai∥2⋅∥u∥2
考虑（6.6）的约束集可以重新表示为：
B(xc,r)⊆P⟺sup{aiT(xc+u)∣∥u∥2≤r}≤bi,∀i⟺aiTxc+r∥ai∥2≤bi,∀i(i.e., u=rai∥ai∥2),\begin{aligned} B\left(\mathrm{x}_{c}, r\right) \subseteq \mathcal{P} & \Longleftrightarrow \sup \left\{\mathbf{a}_{i}^{T}\left(\mathrm{x}_{c}+\mathbf{u}\right) \mid\|\mathbf{u}\|_{2} \leq r\right\} \leq b_{i}, \quad \forall i \\ &\left.\Longleftrightarrow \mathbf{a}_{i}^{T} \mathbf{x}_{c}+r\left\|\mathbf{a}_{i}\right\|_{2} \leq b_{i}, \forall i \quad \text { (i.e., } \mathbf{u}=r \frac{\mathbf{a}_{i}}{\left\|\mathbf{a}_{i}\right\|_{2}}\right), \end{aligned} B(xc,r)⊆P⟺sup{aiT(xc+u)∣∥u∥2≤r}≤bi,∀i⟺aiTxc+r∥ai∥2≤bi,∀i (i.e., u=r∥ai∥2ai),
因此Chebyshev 中心问题可以表示为：
maxxc,rrs.t. aiTxc+r∥ai∥2≤bi,i=1,…,m.\begin{array}{rl} \max _{\mathbf{x}_{c}, r} & r \\ \text { s.t. } & \mathbf{a}_{i}^{T} \mathbf{x}_{c}+r\left\|\mathbf{a}_{i}\right\|_{2} \leq b_{i}, i=1, \ldots, m . \end{array} maxxc,r s.t. raiTxc+r∥ai∥2≤bi,i=1,…,m.
ℓ∞\ell_{\infty}ℓ∞-norm 近似问题：
ℓ∞\ell_{\infty}ℓ∞-norm 定义为：
min∥Ax−b∥∞\min \|\mathrm{Ax}-\mathrm{b}\|_{\infty} min∥Ax−b∥∞
其中：A∈Rm×n\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×n和b∈Rm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}b∈Rm。利用epigraph形式有：
mints.t. maxi=1,…,m∣ri∣≤tr=Ax−b\begin{aligned} &\min t\\ &\begin{array}{l} \text { s.t. } \max _{i=1, \ldots, m}\left|r_{i}\right| \leq t \\ \quad \mathbf{r}=\mathbf{A x}-\mathbf{b} \end{array} \end{aligned} mint s.t. maxi=1,…,m∣ri∣≤tr=Ax−b
进一步有：
mints.t. −t1m⪯r⪯t1mr=Ax−b\begin{array}{l} \min t \\ \text { s.t. }-t 1_{m} \preceq \mathbf{r} \preceq t \mathbf{1}_{m} \\ \quad \mathbf{r}=\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{b} \end{array} mint s.t. −t1m⪯r⪯t1mr=Ax−b
这是一个LP问题，r\mathbf{r}r是新定义的辅助变量。x\mathbf{x}x、r\mathbf{r}r和ttt均为未知变量。
ℓ1\ell_{1}ℓ1-norm 近似问题：
min∥Ax−b∥1\min \|\mathbf{A x}-\mathbf{b}\|_{1} min∥Ax−b∥1
其中：A∈Rm×n\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×n和b∈Rm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}b∈Rm。同样可以转化为LP问题：
min∑i=1m∣ri∣s.t. r=Ax−b\begin{array}{l} \min \sum_{i=1}^{m}\left|r_{i}\right| \\ \text { s.t. } \mathbf{r}=\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{b} \end{array} min∑i=1m∣ri∣ s.t. r=Ax−b
进一步有：
min∑i=1mtis.t. −ti≤ri≤ti,i=1,…,mr=Ax−b\begin{aligned} \min & \sum_{i=1}^{m} t_{i} \\ \text { s.t. } &-t_{i} \leq r_{i} \leq t_{i}, i=1, \ldots, m \\ & \mathbf{r}=\mathbf{A x}-\mathbf{b} \end{aligned} min s.t. i=1∑mti−ti≤ri≤ti,i=1,…,mr=Ax−b
这是一个LP问题，r\mathbf{r}r是新定义的辅助变量。x\mathbf{x}x、r\mathbf{r}r和tit_iti，i=1,...,mi=1,...,mi=1,...,m 均为未知变量。
二次规划（QP）
二次规划形式如下：
min12xTPx+qTx+rs.t. Ax=b,Gx⪯h\begin{aligned} \min & \frac{1}{2} \mathbf{x}^{T} \mathbf{P} \mathbf{x}+\mathbf{q}^{T} \mathbf{x}+r \\ \text { s.t. }& \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}, \mathbf{G} \mathbf{x} \preceq \mathbf{h} \end{aligned} min s.t. 21xTPx+qTx+rAx=b,Gx⪯h
其中P∈Sn\mathbf{P} \in \mathbb{S}^{n}P∈Sn, G∈Rm×n\mathbf{G} \in \mathbb{R}^{m \times n}G∈Rm×n和A∈Rp×n\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{p \times n}A∈Rp×n。当且仅当P⪰0\mathbf{P} \succeq \mathbf{0}P⪰0时QP问题是凸问题
本质：QP问题即是在多面体上找到一个可行解使得二次目标函数最小。
QP的例子：
有界约束最小二乘问题
min∥Ax−b∥22s.t. ℓ⪯x⪯u\begin{array}{c} \min \|\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{b}\|_{2}^{2} \\ \text { s.t. } \ell \preceq \mathbf{x} \preceq \mathbf{u} \end{array} min∥Ax−b∥22 s.t. ℓ⪯x⪯u
由于∥Ax−b∥22=xT(ATA)x−2bTAx+bTb\|\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{b}\|_{2}^{2}=\mathbf{x}^{T}\left(\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right) \mathbf{x}-2 \mathbf{b}^{T} \mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{b}^{T} \mathbf{b}∥Ax−b∥22=xT(ATA)x−2bTAx+bTb。因此，是一个QP问题。
多面体的距离
min∥x1−x2∥22s.t. A1x1⪯b1,A2x2⪯b2\begin{aligned} \min &\left\|\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{2}\right\|_{2}^{2} \\ \text { s.t. } & \mathbf{A}_{1} \mathbf{x}_{1} \preceq \mathbf{b}_{1}, \mathbf{A}_{2} \mathbf{x}_{2} \preceq \mathbf{b}_{2} \end{aligned} min s.t. ∥x1−x2∥22A1x1⪯b1,A2x2⪯b2
其中，x1∈Rn\mathbf{x}_{1} \in \mathbb{R}^{n}x1∈Rn和x2∈Rn\mathrm{x}_{2} \in \mathbb{R}^{n}x2∈Rn。令x=[x1T,x2T]T∈R2n\mathbf{x}=\left[\mathbf{x}_{1}^{T}, \mathbf{x}_{2}^{T}\right]^{T} \in \mathbb{R}^{2 n}x=[x1T,x2T]T∈R2n，然后有：
min∥[In,−In]x∥22s.t. [A100A2]x⪯[b1b2]\begin{array}{l} \min \left\|\left[\mathbf{I}_{n},-\mathbf{I}_{n}\right] \mathbf{x}\right\|_{2}^{2} \\ \text { s.t. }\left[\begin{array}{cc} \mathbf{A}_{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}_{2} \end{array}\right] \mathbf{x} \preceq\left[\begin{array}{l} \mathbf{b}_{1} \\ \mathbf{b}_{2} \end{array}\right] \end{array} min∥[In,−In]x∥22 s.t. [A100A2]x⪯[b1b2]
该问题是一个QP问题，因为∥[In,−In]x∥22=xT[In−In−InIn]x\left\|\left[\mathbf{I}_{n},-\mathbf{I}_{n}\right] \mathbf{x}\right\|_{2}^{2}=\mathbf{x}^{T}\left[\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{n} & -\mathbf{I}_{n} \\ -\mathbf{I}_{n} & \mathbf{I}_{n} \end{array}\right] \mathbf{x} ∥[In,−In]x∥22=xT[In−In−InIn]x
二次约束二次规划（QCQP）
一般形式如下：
min12xTP0x+q0Tx+r0s.t. 12xTPix+qiTx+ri≤0,i=1,…,mAx=b（6.108）\begin{array}{ll} \min & \frac{1}{2} \mathbf{x}^{T} \mathbf{P}_{0} \mathbf{x}+\mathbf{q}_{0}^{T} \mathbf{x}+r_{0} \\ \text { s.t. } & \frac{1}{2} \mathbf{x}^{T} \mathbf{P}_{i} \mathbf{x}+\mathbf{q}_{i}^{T} \mathbf{x}+r_{i} \leq 0, i=1, \ldots, m \\ & \mathbf{A x}=\mathbf{b} \end{array}（6.108） min s.t. 21xTP0x+q0Tx+r021xTPix+qiTx+ri≤0,i=1,…,mAx=b（6.108）
其中，Pi∈Sn,i=0,1,…,m\mathbf{P}_{i} \in \mathbb{S}^{n}, i=0,1, \ldots, mPi∈Sn,i=0,1,…,m和A∈Rp×n\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{p \times n}A∈Rp×n。
QCQP的一些特殊情况和特点：
- 如果Pi⪰0\mathbf{P}_{i} \succeq 0Pi⪰0，∀i\forall i∀i，则QCQP是凸的。
- 当Pi≻0\mathbf{P}_{i} \succ 0Pi≻0，i=1,...,mi=1,...,mi=1,...,m，则QCQP是mmm个椭球交集上的二次最小化问题，且仿射集为{x∣Ax=b}\{\mathbf{x} \mid \mathbf{Ax}=\mathbf{b}\}{x∣Ax=b}
- 如果Pi=0\mathbf{P}_{i}=\mathbf{0}Pi=0，i=1,...,mi=1,...,mi=1,...,m，则QCQP退化为QP。
- 如果Pi=0\mathbf{P}_{i}=\mathbf{0}Pi=0，i=0,1,...,mi=0,1,...,mi=0,1,...,m，则QCQP退化为LP。
- 对于∀i=0,...,m\forall i=0,...,m∀i=0,...,m，因为
12xTPix+qiTx+ri=∥Aix+bi∥22−(fiTx+di)2\frac{1}{2} \mathbf{x}^{T} \mathbf{P}_{i} \mathbf{x}+\mathbf{q}_{i}^{T} \mathbf{x}+r_{i}=\left\|\mathbf{A}_{i} \mathbf{x}+\mathbf{b}_{i}\right\|_{2}^{2}-\left(\mathbf{f}_{i}^{T} \mathbf{x}+d_{i}\right)^{2} 21xTPix+qiTx+ri=∥Aix+bi∥22−(fiTx+di)2
对于问题定义域内的任意x\mathbf{x}x有f0=0n\mathbf{f}_{0}=\mathbf{0}_{n}f0=0n且fiTx+di>0\mathbf{f}_{i}^{T} \mathbf{x}+d_{i}>0fiTx+di>0，则（6.108）等价于
min∥A0x+b0∥2s.t. ∥Aix+bi∥2≤fiTx+di,i=1,…,mAx=b\begin{aligned} \min &\left\|\mathbf{A}_{0} \mathbf{x}+\mathbf{b}_{0}\right\|_{2} \\ \text { s.t. } &\left\|\mathbf{A}_{i} \mathbf{x}+\mathbf{b}_{i}\right\|_{2} \leq \mathbf{f}_{i}^{T} \mathbf{x}+d_{i}, i=1, \ldots, m \\ & \mathbf{A x}=\mathbf{b} \end{aligned} min s.t. ∥A0x+b0∥2∥Aix+bi∥2≤fiTx+di,i=1,…,mAx=b
或者考虑epigraph形式有：
mints.t. ∥A0x+b0∥2≤t∥Aix+bi∥2≤fiTx+di,i=1,…,mAx=b\begin{aligned} \min& \quad t\\ \text { s.t. }&\left\|\mathbf{A}_{0} \mathbf{x}+\mathbf{b}_{0}\right\|_{2} \leq t \\& \left\|\mathbf{A}_{i} \mathrm{x}+\mathbf{b}_{i}\right\|_{2} \leq \mathbf{f}_{i}^{T} \mathbf{x}+d_{i}, i=1, \ldots, m \\& \mathbf{A x}=\mathbf{b} \end{aligned} min s.t. t∥A0x+b0∥2≤t∥Aix+bi∥2≤fiTx+di,i=1,…,mAx=b
这也是一个SOCP（二阶锥规划）问题
QP和QCQP在beamforming设计中的应用
考虑一个简单的ULA模型。
假设DOA（波达方向）是θ\mathbf{\theta}θ。且接收端配置有PPP个线性传感器阵列，则有：
y(t)=a(θ)s(t)\mathbf{y}(t)=\mathbf{a}(\theta) s(t) y(t)=a(θ)s(t)
其中导向矢量a(θ)\mathbf{a}(\theta)a(θ)为：
a(θ)=[1,e−j2πdsin(θ)/λ,…,e−j2πd(P−1)sin(θ)/λ]T∈CP\mathbf{a}(\theta)=\left[1, e^{-j 2 \pi d \sin (\theta) / \lambda}, \ldots, e^{-j 2 \pi d(P-1) \sin (\theta) / \lambda}\right]^{T} \in \mathbb{C}^{P} a(θ)=[1,e−j2πdsin(θ)/λ,…,e−j2πd(P−1)sin(θ)/λ]T∈CP
λ\lambdaλ为波长。s(t)s(t)s(t)为源信号。
源信号的估计值为：
s^(t)=wHy(t)=wHa(θ)s(t)\hat{s}(t)=\mathbf{w}^{H} \mathbf{y}(t)=\mathbf{w}^{H} \mathbf{a}(\theta) s(t) s^(t)=wHy(t)=wHa(θ)s(t)
其中w∈CP\mathbf{w} \in \mathbb{C}^{P}w∈CP是波束成形权重。令θdes∈[−π/2,π/2]\theta_{\mathrm{des}} \in[-\pi / 2, \pi / 2]θdes∈[−π/2,π/2]是期望方向，并假设是完全已知的。一个简单的波束成形可以表示为w=a(θdes)\mathbf{w}=\mathbf{a}\left(\theta_{\mathrm{des}}\right)w=a(θdes)。但它对旁瓣的抑制效果很差。（如下图Yoshiki，P=20P=20P=20，d/λ=0.5d/\lambda=0.5d/λ=0.5，θdes=10。\theta_{\mathrm{des}}=10^。θdes=10。）
接收波束成形：平均旁瓣能量最小化
令：
Ω=[−π/2,θℓ]∪[θu,π/2]\boldsymbol{\Omega}=\left[-\pi / 2, \theta_{\ell}\right] \cup\left[\theta_{u}, \pi / 2\right] Ω=[−π/2,θℓ]∪[θu,π/2]
表示旁瓣带。旁瓣能量最小化问题表示为：
minw∈CP∫Ω∣wHa(θ)∣2dθs.t. wHa(θdes )=1\begin{aligned} \min _{\mathbf{w} \in \mathbb{C}^{P}} & \int_{\Omega}\left|\mathbf{w}^{H} \mathbf{a}(\theta)\right|^{2} d \theta \\ \text { s.t. } & \mathbf{w}^{H} \mathbf{a}\left(\theta_{\text {des }}\right)=1 \end{aligned} w∈CPmin s.t. ∫Ω∣∣wHa(θ)∣∣2dθwHa(θdes )=1
当θ=θdes\theta=\theta_{\mathrm{des}}θ=θdes时，所涉及的波束成形的输出s^(t)\hat{s}(t)s^(t)就是s(t)s(t)s(t)，而当θ≠θdes \theta \neq \theta_{\text {des }}θ=θdes 我们尝试最小化Ω\boldsymbol{\Omega}Ω上的残差总功率，但是源信号估计值与实际值之间仍存在非零残差，该问题等价于一个等式约束的QP问题。
minw∈CP{f(w)≜wHPw}s.t. wHa(θdes )=1\begin{aligned} \min _{\mathbf{w} \in \mathbb{C}^{P}} &\left\{f(\mathbf{w}) \triangleq \mathbf{w}^{H} \mathbf{P}_{\mathbf{w}}\right\} \\ \text { s.t. } & \mathbf{w}^{H} \mathbf{a}\left(\theta_{\text {des }}\right)=1 \end{aligned} w∈CPmin s.t. {f(w)≜wHPw}wHa(θdes )=1
其中P=∫Ωa(θ)aH(θ)dθ=PH⪰0\mathbf{P}=\int_{\Omega} \mathbf{a}(\theta) \mathbf{a}^{H}(\theta) d \theta=\mathbf{P}^{H} \succeq \mathbf{0} P=∫Ωa(θ)aH(θ)dθ=PH⪰0
接收波束成形：最大旁瓣能量最小化
最大旁瓣能量最小化问题表示为
minw∈CPmaxθ∈Ω∣wHa(θ)∣2s.t. wHa(θdes )=1\begin{array}{r} \min _{\mathbf{w} \in \mathbb{C}^{P}} \max _{\theta \in \Omega}\left|\mathbf{w}^{H} \mathbf{a}(\theta)\right|^{2} \\ \text { s.t. } \mathbf{w}^{H} \mathbf{a}\left(\theta_{\text {des }}\right)=1 \end{array} minw∈CPmaxθ∈Ω∣∣wHa(θ)∣∣2 s.t. wHa(θdes )=1
考虑epigraph，有：
minw∈CP,t∈Rts.t. ∣wHa(θ)∣2≤t,∀θ∈ΩwHa(θdes )=1\begin{array}{rl} \min _{\mathbf{w} \in \mathbb{C}^{P}, t \in \mathbb{R}} & t \\ \text { s.t. } & \left|\mathbf{w}^{H} \mathbf{a}(\theta)\right|^{2} \leq t, \forall \theta \in \Omega \\ & \mathbf{w}^{H} \mathbf{a}\left(\theta_{\text {des }}\right)=1 \end{array} minw∈CP,t∈R s.t. t∣∣wHa(θ)∣∣2≤t,∀θ∈ΩwHa(θdes )=1
这是无穷多约束下的QCQP，其中的不等式约束可以表示为：
∣wHa(θ)∣2−t=wHP(θ)w−t\left|\mathbf{w}^{H} \mathbf{a}(\theta)\right|^{2}-t=\mathbf{w}^{H} \mathbf{P}(\theta) \mathbf{w}-t ∣∣wHa(θ)∣∣2−t=wHP(θ)w−t
其中P(θ)=a(θ)aH(θ)⪰0\mathbf{P}(\theta)=\mathbf{a}(\theta) \mathbf{a}^{H}(\theta) \succeq \mathbf{0}P(θ)=a(θ)aH(θ)⪰0。由于约束项是w∈CP\mathbf{w} \in \mathbb{C}^{P}w∈CP的一个二次凸函数与t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R的一个线性函数的和，因此在(w,t)(\mathbf{w}, t)(w,t)是凸的，将其表示为标准的QCQP问题
minw,t[0PT1][wt]s.t. [wHt][P(θ)0P0PT0][wt]+[0PT−1][wt]≤0,∀θ∈Ω[wHt][a(θdes )0]=1\begin{array}{ll} \min _{\mathbf{w}, t} & {\left[\begin{array}{ll} \mathbf{0}_{P}^{T} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \mathbf{w} \\ t \end{array}\right]} \\ \text { s.t. } & {\left[\begin{array}{ll} \mathbf{w}^{H} & t \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \mathbf{P}(\theta) & 0_{P} \\ 0_{P}^{T} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \mathbf{w} \\ t \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} \mathbf{0}_{P}^{T}-1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \mathbf{w} \\ t \end{array}\right] \leq 0, \quad \forall \theta \in \Omega} \\ & {\left[\mathbf{w}^{H} t\right]\left[\begin{array}{c} \mathbf{a}\left(\theta_{\text {des }}\right) \\ 0 \end{array}\right]=1} \end{array} minw,t s.t. [0PT1][wt][wHt][P(θ)0PT0P0][wt]+[0PT−1][wt]≤0,∀θ∈Ω[wHt][a(θdes )0]=1
最大情况的旁瓣能量最小化问题利用离散方式近似。即：θ1,θ2,…,θL\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{L}θ1,θ2,…,θL是Ω\OmegaΩ中的采样点集合。无穷多约束的QCQP问题表示为：
minw,tts.t. ∣wHa(θi)∣2≤t,i=1,…,LwHa(θdes )=1\begin{array}{ll} \min _{\mathbf{w}, t} & t \\ \text { s.t. } & \left|\mathbf{w}^{H} \mathbf{a}\left(\theta_{i}\right)\right|^{2} \leq t, i=1, \ldots, L \\ & \mathbf{w}^{H} \mathbf{a}\left(\theta_{\text {des }}\right)=1 \end{array} minw,t s.t. t∣∣wHa(θi)∣∣2≤t,i=1,…,LwHa(θdes )=1
下图给出了两种设计的性能图
QCQP在认知无线电(cognitive radio)发射beamforming的应用
问题描述：某次用户想要使用KKK个主用户已经使用的频谱资源。当次用户发现频谱空洞时，使用已授权用户的频谱资源时，必须保证它的通信不会影响到已授权用户的通信，一旦该频道被主用户使用，次用户需要切换到其他空闲频段，或者继续使用该频段，但是改变发射功率活或调制方案避免对主用户的干扰。
符号：
- hSS∈CNS\mathbf{h}_{S S} \in \mathbb{C}^{N_{S}}hSS∈CNS: 次发射机到次接收机的信道向量
- hSk∈CNS\mathbf{h}_{S k} \in \mathbb{C}^{N_{S}}hSk∈CNS: 次发射机到第kkk个主接收机的信道向量
- hkS∈CNk\mathbf{h}_{k S} \in \mathbb{C}^{N_{k}}hkS∈CNk: 第kkk个主发射机到次接收机的信道向量
- NSN_{S}NS：此发射机的天线数目
- NkN_{k}Nk：第kkk个主发射机的天线数目
- wk∈CNk\mathbf{w}_{k} \in \mathbb{C}^{N_{k}}wk∈CNk：第kkk个主发射机的波束成形向量
- wS∈RNS\mathbf{w}_{S} \in \mathbb{R}^{N_{S}}wS∈RNS：次发射机的波束成形向量S
- σS2\sigma_{S}^{2}σS2：接收机处噪声功率
假定接收均为单天线，发射信号都是单位功率的，则次接收机接收到的SINR可以表示为 ：
γS=∣hSSHwS∣2∑k=1K∣hkSHwk∣2+σS2\gamma_{S}=\frac{\left|\mathbf{h}_{S S}^{H} \mathbf{w}_{S}\right|^{2}}{\sum_{k=1}^{K}\left|\mathbf{h}_{k S}^{H} \mathbf{w}_{k}\right|^{2}+\sigma_{S}^{2}} γS=∑k=1K∣∣hkSHwk∣∣2+σS2∣∣hSSHwS∣∣2
第kkk个主发射机收到来自次发射的干扰，设其信号功率为∣hSkHwS∣2\left|\mathbf{h}_{S k}^{H} \mathbf{w}_{S}\right|^{2}∣∣hSkHwS∣∣2。设计目标：设计一个次发射波束成形向量WS\mathbf{W}_{S}WS使得γS\gamma_{S}γS最大化，同时，第kkk个主发射机的功率干扰小于阈值ϵk\epsilon_{k}ϵk。即：
maxwSγSs.t. ∣hSkHwS∣2≤ϵk,k=1,…,K∥wS∥22≤PS\begin{array}{ll} \max _{\mathbf{w}_{S}} & \gamma_{S} \\ \text { s.t. } & \left|\mathbf{h}_{S k}^{H} \mathbf{w}_{S}\right|^{2} \leq \epsilon_{k}, k=1, \ldots, K \\ & \left\|\mathbf{w}_{S}\right\|_{2}^{2} \leq P_{S} \end{array} maxwS s.t. γS∣∣hSkHwS∣∣2≤ϵk,k=1,…,K∥wS∥22≤PS
PSP_{S}PS是次链路的最大传输功率。定义：
A=hSShSSH，Bk=hSkhSkH,k=1,…,K\mathbf{A}=\mathbf{h}_{S S} \mathbf{h}_{S S}^{H}， \mathbf{B}_{k}=\mathbf{h}_{S k} \mathbf{h}_{S k}^{H}, k=1, \ldots, K A=hSShSSH，Bk=hSkhSkH,k=1,…,K
其中A\mathbf{A}A和Bk\mathbf{B}_{k}Bk都是rank-1矩阵。原问题等价以下的QCQP为：
minwS−wSHAwSs.t. wSHBkwS≤ϵk,k=1,…,KwSHwS≤PS\begin{array}{l} \min _{\mathbf{w}_{S}} &- \mathbf{w}_{S}^{H} \mathbf{A} \mathbf{w}_{S} \\ \text { s.t. } & \mathbf{w}_{S}^{H} \mathbf{B}_{k} \mathbf{w}_{S} \leq \epsilon_{k}, k=1, \ldots, K \\ & \mathbf{w}_{S}^{H} \mathbf{w}_{S} \leq P_{S} \end{array} minwS s.t. −wSHAwSwSHBkwS≤ϵk,k=1,…,KwSHwS≤PS
由于目标函数是非凸的，所以该问题是非凸的。后续解决办法（SDR）
优化问题-LP，QP和QCQP（线性规划，Linear Programming； 二次规划，Quadratic Programming；二次约束二次规划）相关推荐
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