12个小球称3次得到质量不同的那个小球
问题:
有12个小球,其中有一个的质量与其它小球不同。有一个天平,但没有砝码。将这12个小球在这个天平上称3次,得到质量不同的那个小球。
思路:
对于这个问题,我们无法知道,那个质量不同的小球相比其它的小球,质量是轻了,还是重了。这也是这个问题的一个难点。但是,从天平上,如果两边的小球质量不同,则天平不会平衡。我们首先将范围缩小。如果对于3个小球,如果有一个质量不同,则需要称2次才能发现那个质量不同的球。如果,事先,我们已经知道那个质量不同的小球比其它的小球轻了或者重了,则只需要称1次就可发现那个质量不同的小球。这个问题的基本思路也是如此。对于本题,笔者有两个解法。
解法1:
- 将12个小球分成3组,每一组为4个小球。比如球1-4在组A,球5-8在组B,球9-12在组C。
- 将组A与组B放到天平上称。如果质量相同,则跳转到第3步;如果不同,则跳转到7步。
- 如果,组A与组B质量相同,则说明质量不同的小球在组C。从组C中取两个小球,如球9与球10。
- 将球9与球10放到天平上称。如果球9与球10质量相同,跳转到第5步;如果不同,跳转到第6步。
- 球9与球10质量相同,则说明球11与球12中,有一个球的质量与其它的球不同。取球11与组A或者组B中任一小球称。如果相同,则说明球12的质量不同;如果不同,则说明球11的质量不同。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
- 球9与球10质量不同,则说明球9与球10中,有一个球的质量与其它的球不同。取球9与组A或者组B中任一小球称。如果相同,则说明球10的质量不同;如果不同,则说明球9的质量不同。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
- 组A与组B的质量不同,则说明在组A与组B中有一个小球与其它的小球质量不同。假设,称的结果为组A比组B重。将球1、3、5设为组A1,球2、4、6设为组B1,再次放到天平上称。
- 如果,组A1比组B1重,则说明球1或者球3重,或者球6轻。将球1与球3放到天平上称。如果球1比球3重,则说明球1为质量不同的小球。如果球1比球3轻,则说明球3为质量不同的小球。如果相同,则说明球6为质量不同的小球。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
- 如果,组A1比组B1轻,则说明球5轻,或者,球2或球4重。将球2与球4放在天平上称。如果球2比球4重,则说明球2为质量不同的小球。如果球2比球4轻,则说明球4为质量不同的小于。说果相同,则说明球5为质量不同的小球。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
- 如果,组A1与组B1的质量相同,则说明球7或者球8中,有一个球的质量轻了。将球7与球8放在天平上。如果球7轻,则球7为质量不同的小球。如果球8轻,则说明球8为质量不同的小球。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
解法2:
- 与前一种方法的开始相同。将12个小球分成3组,每一组为4个小球。比如球1-4在组A,球5-8在组B,球9-12在组C。
- 将组A与组B放到天平上称。如果质量相同,则跳转到第3步;如果不同,则跳转到7步。
- 如果,组A与组B质量相同,则说明质量不同的小球在组C。从组C中取两个小球,如球9与球10。
- 将球9与球10放到天平上称。如果球9与球10质量相同,跳转到第5步;如果不同,跳转到第6步。
- 球9与球10质量相同,则说明球11与球12中,有一个球的质量与其它的球不同。取球11与组A或者组B中任一小球称。如果相同,则说明球12的质量不同;如果不同,则说明球11的质量不同。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
- 球9与球10质量不同,则说明球9与球10中,有一个球的质量与其它的球不同。取球9与组A或者组B中任一小球称。如果相同,则说明球10的质量不同;如果不同,则说明球9的质量不同。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
- 组A与组B的质量不同,则说明在组A与组B中有一个小球与其它的小球质量不同。假设,称的结果为组A比组B重。将球1、5、6、7设为组A1,将球8与组C中任取3球设为组B1。再次放在天平上称。
- 如果,组A1比组B1重,则说明球1重,或者球8轻。将球1与组C中任一球称,如果球1相对更重,则说明球1为质量不同的小球。如果相同,则说明球8为质量不同的小球。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
- 如果,组A1比组B1轻,则说明球5、6、7中有一个球轻。取球5与球6在天平上称。如果球5比球6轻,则说明球5为质量不同的小球。如果球5比球6重,则说明球6为质量不同的小球。如果相同,则说明球7为质量不同的小球。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
- 如果,组A1与组B1一样重,则说明球2、3、4中有一个球重。取球2与球3在天平上称。如果球2比球3重,则说明球2为质量不同的小球。如果球2比球3轻,则说明球3为质量不同的小球。如果相等,则说明球4为质量不同的小球。至此,共称3次,发现了质量不同的小球。
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