一、问题描述

在12个外观完全相同的小球中，有一个与其它球重量不同。如何只用一架天平找到这个球并判断它比其它球轻还是重？最少需要称几次？39个球呢？

二、问题分析

这是一个很经典的信息论问题，最开始的思路是用分组称重的方法，发现每次测量的次数不固定，而且当球数增多时称重次数会明显增加，所以不是次数最优的方法，于是参考了网上编码的方法并做了一点调整。

一共有12个小球，每个小球都可能偏轻或偏重，共有24种可能，其信息量为 log224≈4.58bitlog2⁡24≈4.58bit。利用天平进行称重，天平每次显示结果可能为左倾、右倾或平衡三种，假如出现每种情况的概率相同，则每次称重结果的信息量为 log23≈1.58bitlog2⁡3≈1.58bit。4.58bit1.58bit≈34.58bit1.58bit≈3，所以理论上3次称重可以找出质量不同的球并判断出它是偏轻还是偏重。

根据文献The Problem of the Pennies, F. J. Dyson, The Mathematical Gazette , Vol. 30, No. 291 (Oct., 1946), pp. 231-234 的证明可知，N次称重最多可以从3N−323N−32个小球中找出不同的球，当N=3时可以判断12个小球的质量。

三、算法设计

要以最少次数称重得到结果，则每次称重应获取尽可能多的信息，也就是每次天平称重结果都应包含左倾、右倾、平衡三种可能的情况。于是称重时小球应该分为三堆，特殊小球随机分布于其中一堆，选择两堆置于天平两侧。对此，可以将每个小球进行编码，每次称重时根据编码选择三分之二的小球，对称重结果进行记录，并根据每次称重结果，找出异常小球，

3.1 编码要求

由于天平结果有三种，我们选择 ‘0’,‘1’,‘2’ 三种字符对小球进行编码，12个小球三次可以测出，因此每个小球由三位编码构成，编码应满足以下三个条件：

编码互不相同；

保证编码唯一性，每个编码对应唯一小球。

编码每一位均含有4个‘0’,‘1’,‘2’；

例如12个小球对应12个编码，这12个编码的第一位中‘0’,‘1’,‘2’各出现四次，第二第三位同理。目的是为了保证每次称重小球均分为三份。

每个小球编码对其中的‘0’,‘1’同时取反后，反编码不存在于已编好的序列中。

取反指编码中的‘0’变为‘1’，‘1’变为‘0’。结合前两条，该条件可以保证每个小球至少上一次天平，同时保证根据结果能够正确找出异常小球。

下一节将具体介绍这样编码的原因，以及利用这些编码称重的过程。

3.2 称重方法

每次称重天平结果有左倾、右倾、平衡三种，因此需要三种字符对小球进行编码，这里使用 ‘0’,‘1’,‘2’ ；12个球需要称重三次，则每个编码用三位字符表示。根据小球编码判断每次称重时该小球的位置。第 ii 次称重，选择编码第 ii 位为‘0’的小球置于左盘，第 ii 位为‘1’的小球置于右盘，记录天平结果并生成结果序列，为了保证每次称重左右两盘球数相同，编码序列每一位应均包含相同个个数的‘0’,‘1’,‘2’。我们用heavyheavy表示重球序列，lightlight表示轻球序列，序列生成规则如下：

天平结果

可能原因

处理方式

左倾

左盘含有重球

heavyi=0heavyi=0

右盘含有轻球

lighti=1lighti=1

右倾

右盘含有重球

heavyi=1heavyi=1

左盘含有轻球

lighti=0lighti=0

平衡

非标准球不在盘上

heavyi=2heavyi=2

lighti=2lighti=2

如第1次称重结果为天平右倾，则表明天平右盘含有一个重球，或左盘含有一个轻球，而此时天平右盘小球的第一位编码均为‘1’，左盘小球第一位均为‘0’，因此证明：异常球为重球且第一位为‘1’(heavy1=1heavy1=1)，或者异常球为轻球且第一位为‘0’(light1=0light1=0)。根据该规则三次称重并记录完成后， heavyheavy 与 lightlight 均为一个三位的序列，且两个序列第 ii 位或‘0’，‘1’相反，或同时为‘2’，根据编码条件三可知，两个编码不可能同时存在，因此存在的编码所对应的小球即是异常球，且若该编码为 heavyheavy ，则异常小球偏重，否则偏轻。

3.3 一个例子

以下12个小球中有一个为异常球，下面对小球进行一组可行的编码并通过三次称重将其找出。首先对小球进行编码：

图1. 12个小球及其对应编码

进行第一次称重，将编码第一位为‘0’的小球(1，4，7，10)置于左盘，为‘1’的小球置于右盘(2，5，8，11)，称重结果如下：

图2. 第一次称重结果

由于天平左倾，则表明左盘含有重球，或右盘含有轻球：heavy1=0heavy1=0，light1=1light1=1；

第二次称重，将编码第二位为‘0’的小球置于左盘，为‘1’的置于右盘，结果如下：

图3. 第二次称重结果

天平右倾，则表明右盘含有重球，或左盘含有轻球：heavy2=1heavy2=1，light2=0light2=0；

第三次称重，将编码第三位为‘0’的小球置于左盘，为‘1’的置于右盘，结果如下：

图4. 第三次称重结果

天平平衡，表示两边都为正常球，异常球第三位编码为‘2’：heavy3=2heavy3=2，2018-03-05 11:14