77. 组合

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/combinations

题目

给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:

输入: n = 4, k = 2
输出:
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]

解题思路

思路：组合数

先审题，题目要求给定 n，返回 1…n 中所有可能的 k 个数组合。我们可以发现，这其实就是高中数学概念上的组合数问题。

组合的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m（ m ≤ n m \leq n m≤n）个不同元素组成一组，称为组合。

组合数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m（ m ≤ n m \leq n m≤n）个不同元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为 C n m C_{n}^{m} Cnm。

组合数有这样一个性质：

C n + 1 m = C n m + C n m − 1 C_{n+1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m-1} Cn+1m=Cnm+Cnm−1

这里我们令 n’ = n+1，那么上面的式子则会变成：

C n ′ m = C n ′ − 1 m + C n ′ − 1 m − 1 C_{n'}^{m} = C_{n'-1}^{m} + C_{n'-1}^{m-1} Cn′m=Cn′−1m+Cn′−1m−1

其实也就等同于：

C n m = C n − 1 m + C n − 1 m − 1 C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1} Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1

这里我们可以这样去理解上面的式子。假设现在从 n 个元素选 m 个元素，也就是 C n m C_{n}^{m} Cnm。这里，我们先选择一个需要特殊考虑的元素，那么就会有以下两种情况：

当选取的元素中不含这个特殊元素，那么就需要在剩余的 n-1 个元素中选出 m 个元素，也就是 C n − 1 m C_{n-1}^{m} Cn−1m；
当选取的元素中含有这个特殊元素，那么就需要从剩余的 n-1 个元素中选出 m-1 个元素，也就是 C n − 1 m − 1 C_{n-1}^{m-1} Cn−1m−1 。

最终，将两种情况结合起来，从 n 个元素选 m 个元素的情况。

那么就按照这个思路，进行实现，这里每次选取特殊元素为可选元素集合中最小的元素。

具体代码实现如下（递归方法）。

from typing import Listclass Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:ans = []tmp = []def helper(special, n, k):# k 个元素选择完成，添加到返回列表中if k == 0:# 这里注意添加的是副本# 具体原因，建议自行调试查看ans.append(tmp[::])return# 表示剩余元素不够选择 k 个元素，直接返回if k > n:returntmp.append(special)helper(special+1, n-1, k-1)tmp.pop()helper(special+1, n-1, k)helper(1, n, k)return ans# n = 4
# k = 2
# solution = Solution()
# ans = solution.combine(n, k)
# print(ans)

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