为什么-1的补码是全1(11111111)？-128的补码是10000000？
首先需要知道：二进制补码表示的正数实际上左侧有无限多个0，而负数有无限多个1.只是为了适应硬件的宽度，二进制表示的数的前导位被隐藏了。
举例
下面看一下64位的 −4ten-4_{ten}−4ten的补码（以64位机器（机器里面存的是补码）为例）：
00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100two=[4]补00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two}=[4]_{补}00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100two=[4]补
11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100two=[−4]补11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100_{two}=[-4]_{补}11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100two=[−4]补
下标two表示二进制，下标ten表示十进制。
我们把[−4]补[-4]_{补}[−4]补和[4]补[4]_{补}[4]补相加会得到什么呢？
[−4]补+[4]补=00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100two+11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100two=1,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100two[-4]_{补}+[4]_{补}=00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two}\\+11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100_{two}\\=1,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two} [−4]补+[4]补=00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100two+11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100two=1,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100two
我们发现 64位补码相加得到2642^{64}264!
下面求8位的 −4ten-4_{ten}−4ten的补码
已知 有符号数 −4ten=10000100two-4_{ten}=10000100_{two}−4ten=10000100two,
根据口诀:负数的补码=负数的原码取反(符号位不变，数据位取反)+1
可以得到：[−4]补=11111011two+00000001two=11111100two[-4]_{补}=11111011_{two}+00000001_{two}=11111100_{two}[−4]补=11111011two+00000001two=11111100two,
而4ten4_{ten}4ten的补码仍然是原码，即[4]补=00000100two[4]_{补}=00000100_{two}[4]补=00000100two,
我们把[−4]补[-4]_{补}[−4]补和[4]补[4]_{补}[4]补相加会得到什么呢？
[−4]补+[4]补=11111100two+00000100two=1,00000000[-4]_{补}+[4]_{补}=11111100_{two}+00000100_{two}=1,00000000[−4]补+[4]补=11111100two+00000100two=1,00000000
我们发现 8位补码相加得到282^{8}28!
归纳
二进制补码得名于下述规则：一个n位的数与其n位的相反数做无符号加法，结果为2n2^n2n,因此，x的相反数（或相补数）-x 等于2n−x2^n-x2n−x,或叫“二进制补码”。
以n=8位为例，1的二进制表示为00000001，则 -1的二进制补码可以由上面的公式写出来
[−1]补=2n−1=28−1=1,00000000−00000001=11111112−00000001=11111111[-1]_补=2^n-1=2^8-1=1,00000000-00000001=11111112-00000001=11111111[−1]补=2n−1=28−1=1,00000000−00000001=11111112−00000001=11111111
注：这里11111112仅仅是方便计算，实际二进制中逢二进一，还是100000000.
同样的，我们来看-128的情况。
对于128ten=27=10000000128_{ten}=2^7=10000000128ten=27=10000000 ,这里的n=8，根据补码的定义：
[−128]补=28−128=1,00000000−10000000=11111112−10000000=10000000[-128]_{补}=2^8-128=1,00000000-10000000=11111112-10000000=10000000[−128]补=28−128=1,00000000−10000000=11111112−10000000=10000000
综上，求1个负数(-x)的补码，只需要用2n−x2^n-x2n−x即可，这里的n表示这个负数的二进制位数。注意这里x是正数
后记：这个问题在《计算机组成与设计-硬件/软件接口》一书中有详细的解释。
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