题目介绍

原题链接：NC309 完全背包
描述
你有一个背包，最多能容纳的体积是V。
现在有n种物品，每种物品有任意多个，第i种物品的体积为viv_ivi ,价值为wiw_iwi。
（1）求这个背包至多能装多大价值的物品？
（2）若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？
数据范围：1≤v,vi,wi≤10001 \le v,v_i,w_i \le 10001≤v,vi,wi≤1000
示例1
输入：
```
6,2,[[5,10],[3,1]]
```
返回值：[10,2]
示例2
输入：
```
8,3,[[3,10],[9,1],[10,1]]
```
返回值：[20,0]
说明：无法恰好装满背包
示例3
输入：
```
13,6,[[13,189],[17,360],[19,870],[14,184],[6,298],[16,242]]
```
返回值：[596,189]
说明：可以装5号物品2个，达到最大价值298*2=596，若要求恰好装满，只能装1个1号物品，价值为189

题解1

问题1和问题2的求解过程基本一致，不同的是在动态规划初始化数组时，在求解问题1时其所对应的动态规划数组全部为0，在求解问题2时其所对应的动态规划数组只有第一个元素为0其余的为负无穷。之所以将动态规划数组里的元素设为负无穷，是为了进行阻断。在从前至后推进时如果在填充了当前元素后还有剩余空间，那么之前扫描过的其他元素若不能恰好填满剩余空间，则这个元素将无法被成功填充（表征为：负无穷加上一个常数还是负无穷），即这种情况将会被阻断。

v, n, nums = 1, 1, []
exec('v, n, nums = ' + input())
dp1 = [0 for i in range(v + 1)]
dp2 = [float('-inf') for j in range(v+1)]
dp2[0] = 0
for i in range(1, n+1):for j in range(1, v+1):if j >= nums[i-1][0]:dp1[j] = max(dp1[j], nums[i-1][1] + dp1[j-nums[i-1][0]])dp2[j] = max(dp2[j], nums[i-1][1] + dp2[j-nums[i-1][0]])
print(f'[{dp1[v]},{0 if dp2[v] < 0 else dp2[v]}]')

题解2

v, n, nums = 1, 1, []
exec('v, n, nums = ' + input())
dp = [0 for i in range(v+1)]
dp1 = [0 for j in range(v+1)]
for i in range(1, v+1):_max = float('-inf')max1 = float('-inf')for j in range(n):if i >= nums[j][0]:_max = max(_max, dp[i-nums[j][0]]+nums[j][1])max1 = max(max1, dp1[i-nums[j][0]]+nums[j][1])_max = max(_max, dp[i-1])dp[i] = _maxdp1[i] = max1
res = 0 if dp1[v] < 0 else dp1[v]
print(f'[{dp[v]},{res}]')

题解3

v, n, nums = 1, 1, []
exec('v, n, nums = ' + input())
V = [0 for i in range(n+1)]
W = [0 for j in range(n+1)]
for goods in range(1, n+1):V[goods] = nums[goods-1][0]W[goods] = nums[goods-1][1]
dp1 = [0 for i in range(v+1)]
dp2 = [float('-inf') for j in range(v+1)]
dp2[0] = 0
for goods in range(1, n+1):for capacity in range(V[goods], v+1):dp1[capacity] = max(dp1[capacity], dp1[capacity - V[goods]] + W[goods])dp2[capacity] = max(dp2[capacity], dp2[capacity - V[goods]] + W[goods])if dp2[capacity] < 0:dp2[capacity] = float('-inf')
res = 0 if dp2[v] == float('-inf') else dp2[v]
print(f'[{dp1[v]},{res}]')

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Python3使用动态规划处理背包问题：完全背包（含背包恰好装满的情况）

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