数理逻辑蕴含_1.数理逻辑：基本概念

什么是数理逻辑

逻辑学是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由亚里士多德创立

亚里士多德：提出三段论

只要符合三段论就是正确的

大前提，小前提和结论

逻辑学还是以自然语言来描述，可能会因为自然语言的模糊性损害其准确

用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑

数理逻辑的四大分支

数学史上的第三次大危机是由于发现了集合论的逻辑悖论引起的

悖论的提出，促使了——公理集合论

为了证明数学的无矛盾行问题——证明论

递归论

模型论

命题

命题是数理逻辑中最基本的概念

最缺的的对象作出判断的陈述句称做命题

如果判断正确，称命题为真

真假是命题的固有属性——真值

三个识别要点

陈述句

判断

确定的对象

真值是命题的固有属性

不过，是否知道真值，能否知道真值是另一回事

悖论不能作为命题，如“这句话是错的”

命题非真既假，不能兼而有之

非真既假，是一个基本假设？

排中律 (Law of Excluded Middle)

排中律是传统逻辑的基本规律之一

“是非之间，必居其一”

任何一个事物在同一时间里具有某种属性或者不具有某种属性

而无其他的可能

反证法与排中律

要证明一个命题为真，并不直接证明

而是假设命题不为真，推出矛盾；

根据排中律这个命题非假，即真，那么从而间接地证明了命题为真

直觉主义对排中律的质疑

直觉主义认为，数学的基础和出发点是人类直觉锁构造

数学力量可靠性依赖于心智上的可构造性

对命题真假的确定必须给出构造性证明

而反证法虽然对命题的反面推出矛盾

但不意味着命题本事具有构造性的证明

直觉主义否定排中律的普遍有效性

从有穷事物中概况出来的排中律，不能贸然推广到对无穷事物适用

涉及到有穷事物全体的命题，可以逐个验证

但一涉及到无穷事物，一般是无法检验

原子命题和复合命题

三个新概念：

逻辑联结

原子命题

复合命题

逻辑联结词有哪些：与或非，如果那么，当且仅当

对于逻辑和思维的过程进行形式化，使之像算数过程那样非常地简单明了，而且确切无误

如何把命题变算式？

形象化第一步：抽象

仅关注命题的本质属性：真值

仅关注逻辑联结词的本质属性：真值计算

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命题的真值，1表示为true，0表示为false

逻辑联结词由真值表表示

注意：或可能表示排斥性选择

例如：人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛 ——排斥或成为抑或

蕴涵词如果那么 : →

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命题公式的组成成分

命题常元：常量

命题变元: 变量

命题公式: 命题常量+命题变元+逻辑联结词

命题公式的定义

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逻辑联结词优先级

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命题公式与真值函数

如果把联结词看作逻辑运算符，那么包含命题变元的公式可以看为是变元的一个真值函数

每个变元的取值范围是{0,1}

每个真值函数的取值范围也是{0,1}

赋值

对于给定的p1,p2...pn的一种取值状况组合，称为指派或者赋值

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真值表

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成真赋值和成假赋值

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自然语言句子的形式化

首先确定原子命题

其次确定联结词

最后处理命题之间的联结关系及顺序

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