连续信号的傅里叶变换总结

1，周期信号的傅里叶级数

这里省略正余弦表达式，只给出指数表达式。
先给出狄利赫里条件：（1）在任何周期内， f ( t ) f(t) f(t)须绝对可积；（2）在任一有限区间中， f ( t ) f(t) f(t)只能取有限个最大值或最小值；（3）在任何有限区间上， f ( t ) f(t) f(t)只能有有限个第一类间断点。
设 f ( t ) f(t) f(t)周期为 T 1 {T_1} T1 ，满足狄利赫里条件，则
其中： f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n w 1 t f(t) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{F_n}{e^{jn{w_1}t}}} f(t)=n=−∞∑∞Fnejnw1t
如果将 n w 1 n{w_1} nw1和 F n {F_n} Fn（ n = − ∞ , . . . , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . , ∞ n = - \infty ,..., - 2, - 1,0,1,2,...,\infty n=−∞,...,−2,−1,0,1,2,...,∞）一一对应，则可以得到离散的谱线，分为幅度谱和相位谱。

2，非周期信号的傅里叶变换

假设周期 T 1 → ∞ {T_1} \to \infty T1→∞，并且满足狄利赫里条件，则上式可变为
T 1 F n = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j n w 1 t d t {T_1}{F_n} = \int_{ - \infty }^\infty {f(t){e^{ - jn{w_1}t}}dt} T1Fn=∫−∞∞f(t)e−jnw1tdt
因为 w 1 → 0 {w_1} \to 0 w1→0，根据1中所述，离散谱线间隔将趋近0，于是离散变连续， n w 1 → w n{w_1} \to w nw1→w。
我们令 F ( j w ) = T 1 F n = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j w t d t F(jw) = {T_1}{F_n} = \int_{ - \infty }^\infty {f(t){e^{ - jwt}}dt} F(jw)=T1Fn=∫−∞∞f(t)e−jwtdt称为 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换，也叫频谱密度函数，是一个连续函数。
同时 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( j w ) e j w t d w f(t) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {F(jw){e^{jwt}}dw} f(t)=2π1∫−∞∞F(jw)ejwtdw称为傅里叶逆变换。

3，周期信号的傅里叶变换

周期信号除了傅里叶级数也可以用傅里叶变换表示。
假设 f ( t ) f(t) f(t)是以 T 1 {T_1} T1为周期的周期函数，它在一个周期内截断得到 f T ( t ) {f_T}(t) fT(t)。
f T ( t ) ↔ F T ( j w ) {f_T}(t) \leftrightarrow {F_T}(jw) fT(t)↔FT(jw)
由于 f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ f T ( t − k T 1 ) = f T ( t ) ∗ ∑ k = − ∞ ∞ δ ( t − k T 1 ) f(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{f_T}(t - k{T_1})} = {f_T}(t) * \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\delta (t - k{T_1})} f(t)=k=−∞∑∞fT(t−kT1)=fT(t)∗k=−∞∑∞δ(t−kT1)
则 F ( j w ) = F T ( j w ) 2 π T 1 ∑ k = − ∞ ∞ δ ( w − 2 π k T 1 ) = w 1 ∑ k = − ∞ ∞ F T ( j k w 1 ) δ ( w − k w 1 ) F(jw) = {F_T}(jw)\frac{{2\pi }}{{{T_1}}}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\delta (w - \frac{{2\pi k}}{{{T_1}}})} = {w_1}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{F_T}(jk{w_1})\delta (w - k{w_1})} F(jw)=FT(jw)T12πk=−∞∑∞δ(w−T12πk)=w1k=−∞∑∞FT(jkw1)δ(w−kw1)
可以看到周期函数的傅里叶变换是冲激函数在对应的 F T ( j k w 1 ) {F_T}(jk{w_1}) FT(jkw1)上的采样，也是一个离散谱线。

4，拉普拉斯变换

如果信号不满足狄利赫里条件（1），即不满足绝对可积，则无法对其进行傅里叶变换。但是如果我们用一个实指数信号 e − σ t {e^{ - \sigma t}} e−σt与 f ( t ) f(t) f(t)相乘，只要 σ \sigma σ的值选择得当，使 f ( t ) e − σ t f(t){e^{ - \sigma t}} f(t)e−σt满足绝对可积，就可以对其进行傅里叶分析了。
记拉普拉斯变换 L ( s ) = F ( σ + j w ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − σ t e − j w t d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t L(s) = F(\sigma + jw) = \int_{ - \infty }^\infty {f(t){e^{ - \sigma t}}{e^{ - jwt}}dt = } \int_{ - \infty }^\infty {f(t){e^{ - st}}dt} L(s)=F(σ+jw)=∫−∞∞f(t)e−σte−jwtdt=∫−∞∞f(t)e−stdt
其中 s = σ + j w s = \sigma + jw s=σ+jw
拉普拉斯逆变换 f ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ L ( s ) e s t d s f(t) = \frac{1}{{2\pi j}}\int_{\sigma - j\infty }^{\sigma + j\infty } {L(s){e^{st}}ds} f(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞L(s)estds
傅里叶变换将时域转换到频域，而拉普拉斯变换将时域转换到复频域（s域）。
满足绝对可积条件 ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ e − σ t < ∞ \int_{ - \infty }^\infty {\left| {f(t)} \right|{e^{ - \sigma t}}} < \infty ∫−∞∞∣f(t)∣e−σt<∞的 σ \sigma σ的取值范围称为拉氏变换的收敛域ROC，一般在求解拉普拉斯变换时可以得到其收敛域。