通信之道-傅立叶分析

摘自《通信之道》

傅里叶（1768-1830）法国数学家和物理学家。在1807年法国科学学会上发表的论文中提出一个论断：任何连续周期信号都可以表示为一组适当加权的正弦曲线的和。

傅里叶级数

任何连续周期信号都可以表示为一组适当加权的正弦曲线的和。

三角函数的正交性（公式略）：

正弦和余弦函数是正交的（正交就是一个周期内的积分为0）；
不同频率的正弦函数是正交的；
不同频率的余弦函数是正交的。

为什么正弦信号重要

因为三角函数作为线性系统的输入时具有频率不变的特性。
例如，输入信号为 x ( t ) = c o s ( w t ) x(t)=cos(wt) x(t)=cos(wt)，输出信号为
y ( t ) = x ( t ) + α ⋅ x ( t − t 0 ) y(t)=x(t)+\alpha\cdot x(t-t_0) y(t)=x(t)+α⋅x(t−t0)
是有输入信号和一个延时成分叠加得到，则
y ( t ) = c o s ( w t ) + α ⋅ c o s ( w t − w t 0 ) = . . . = A c o s ( w t − θ ) y(t)=cos(wt)+\alpha\cdot cos(wt-wt_0)\\ =...=Acos(wt-\theta) y(t)=cos(wt)+α⋅cos(wt−wt0)=...=Acos(wt−θ)
上例表明输入是正弦信号，输出也是正弦信号，只是幅度和相位有了一定的改变。其他周期信号如方波三角波都没有这个性质。这种特性反映了线性系统的特征，叫做系统的幅频特性和相频特性，统称频率特性。

如果用复指数形式表示输入 x ( t ) = e j w t x(t)=e^{jwt} x(t)=ejwt，设系统的冲击响应为 h ( t ) h(t) h(t)，则输出为:
y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e j w ( t − τ ) d τ = e j w t ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e − j w τ d τ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{jw(t-\tau)}d\tau \\ =e^{jwt}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-jw\tau}d\tau y(t)=∫−∞+∞h(τ)ejw(t−τ)dτ=ejwt∫−∞+∞h(τ)e−jwτdτ
H ( j w ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e − j w τ d τ H(jw)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-jw\tau}d\tau H(jw)=∫−∞+∞h(τ)e−jwτdτ就是用复数表达的系统的频率特性

傅里叶级数

周期信号可以用傅里叶级数来表达，傅里叶系数又叫做离散频谱，因为谱线只出现在 w 1 = 1 / T 1 w_1=1/T_1 w1=1/T1的整数倍上。

三角形式的傅里叶级数：
x ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ { a n c o s ( n w 1 t ) + b n s i n ( n w 1 t ) } x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\{a_ncos(nw_1t)+b_nsin(nw_1t)\} x(t)=a0+n=1∑∞{ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)}
其中 a n = . . . , b n = . . . a_n=...,b_n=... an=...,bn=...（略）

根据欧拉公式，可得到复指数形式的傅里叶级数：
x ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e j n w 1 t x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jnw_1t} x(t)=n=−∞∑∞cnejnw1t
其中c_n被称作离散频谱:
c n = 1 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 x ( t ) e − j n w 1 t d t c_n=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}x(t)e^{-jnw_1t}dt cn=T11∫−2T12T1x(t)e−jnw1tdt
这就是复指数形式的傅里叶级数，形式更加简洁优美。

傅里叶变换

非周期信号的傅里叶变换

将周期信号傅里叶级数的概念推广到非周期信号（视为周期无限大的信号），就可以得到傅里叶变换。
（推导过程略，见书P61）
让周期 T 1 → ∞ T_1\rightarrow\infty T1→∞，则谱线的间距 2 π / T 1 → 0 2\pi/T_1\rightarrow0 2π/T1→0，离散频谱变成了连续频谱。

正变换：
X ( w ) = F [ x ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j w t d t X(w)=F[x(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(w)=F[x(t)]=∫−∞+∞x(t)e−jwtdt
反变换:
x ( t ) = F − 1 [ X ( w ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( w ) e j w t d w x(t)=F^{-1}[X(w)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(w)e^{jwt}dw x(t)=F−1[X(w)]=2π1∫−∞+∞X(w)ejwtdw

周期信号的傅里叶变换

在讨论傅里叶变换存在的条件时，需要函数绝对可积，即要求自变量趋向于正负无穷时应该衰减到零。而周期信号并不符合这个条件，所以严格意义上周期信号的傅里叶变换并不存在。

但是引入了冲激函数这样的奇异函数之后，允许函数值为无穷大，周期函数的傅里叶变换也存在确定的表达形式。

复指数信号 e j w 1 t e^{jw_1t} ejw1t的傅里叶变换为 w 1 w_1 w1处的一个冲激：
F [ e j w 1 t ] = 2 π δ ( w − w 1 ) F[e^{jw_1t}]=2\pi\delta(w-w_1) F[ejw1t]=2πδ(w−w1)

实信号 c o s ( w 1 t ) = e j w 1 t + e − j w 1 t 2 cos(w_1t)=\frac{e^{jw_1t}+e^{-jw_1t}}{2} cos(w1t)=2ejw1t+e−jw1t的傅里叶变换：
F [ c o s ( w 1 t ) ] = π δ ( w − w 1 ) + π δ ( w + w 1 ) F[cos(w_1t)]=\pi\delta(w-w_1)+\pi\delta(w+w_1) F[cos(w1t)]=πδ(w−w1)+πδ(w+w1)
是位于 − w 1 , w 1 -w_1,w_1 −w1,w1处的两个冲激。余弦函数是实偶函数，傅里叶变换也是实偶函数。
类似地，正弦信号的傅里叶变换
F [ s i n ( w 1 t ) ] = j π δ ( w + w 1 ) − j π δ ( w − w 1 ) F[sin(w_1t)]=j\pi\delta(w+w_1)-j\pi\delta(w-w_1) F[sin(w1t)]=jπδ(w+w1)−jπδ(w−w1)
正弦函数为实奇函数，傅里叶变换为虚奇函数。

对于一般的周期函数 x ( t ) x(t) x(t)，它的周期为 T 1 T_1 T1，角频率为 w 1 = 2 π / T 1 w_1=2\pi/T_1 w1=2π/T1。表达成复指数的傅里叶级数形式为：
x ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e j n w 1 t x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jnw_1t} x(t)=n=−∞∑∞cnejnw1t
其中c_n为傅里叶系数:
c n = 1 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 x ( t ) e − j n w 1 t d t c_n=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}x(t)e^{-jnw_1t}dt cn=T11∫−2T12T1x(t)e−jnw1tdt
那么 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶变换为
F [ x ( t ) ] = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ c n δ ( w − n w 1 ) F[x(t)]=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\delta(w-nw_1) F[x(t)]=2πn=−∞∑∞cnδ(w−nw1)
可以看出，周期信号的傅里叶变换是一系列离散的冲激信号，每个冲激的强度就是傅里叶系数乘以 2 π 2\pi 2π。傅里叶变换是谱密度函数。对于周期信号，在一系列的宽度为零的频率点上的谱值是一个有限的不为零的数值，所以在这些点上的谱密度为无穷大。

卷积定理

时域卷积–>频域相乘（公式略）
频域卷积–>时域相乘

线性系统的频率特性

一个线性时不变系统可以用冲激响应完全刻画其特性。
y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) y(t)=x(t)*h(t) y(t)=x(t)∗h(t)
根据卷积定理
Y ( w ) = X ( w ) H ( w ) Y(w)=X(w)H(w) Y(w)=X(w)H(w)
这个公式叫作线性时不变系统的频域的系统方程， H ( w ) H(w) H(w)叫作系统的频率特性。并且， H ( w ) H(w) H(w)的幅度叫作幅频特性， H ( w ) H(w) H(w)的相位叫作相频特性。

对于输入信号当中的任何一个频率成分 w w w，线性时不变系统的作用就是把这个频率成分做了幅度和相位上的改变，就是乘以 H ( w ) H(w) H(w)。这个频率成分的能量不会泄露到其他的频率成分上。

如果输出信号当中包含了输入信号当中没有的频率成分，则这个系统就不是线性时不变系统。

离散傅里叶变换

连续信号的傅里叶变换的作用主要是理论价值，而实际应用的是离散傅里叶变换。

不像连续信号有傅里叶级数和傅里叶变换之分，在离散域，傅里叶变换也就是傅里叶级数。