000 高数预备知识

一、三角函数

1. 直角三角形中的定义

在直角三角形中仅有锐角（大小在0到90度之间的角）三角函数的定义：

θ\thetaθ的正弦是对边与斜边的比值：sin⁡θ=ah{\displaystyle \sin {\theta }={\frac {a}{h}}}sinθ=ha

θ{\displaystyle \theta }θ的余弦是邻边与斜边的比值：cos⁡θ=bh{\displaystyle \cos {\theta }={\frac {b}{h}}}cosθ=hb

θ{\displaystyle \theta }θ的正切是对边与邻边的比值：tan⁡θ=ab{\displaystyle \tan {\theta }={\frac {a}{b}}}tanθ=ba

θ{\displaystyle \theta }θ的余切是邻边与对边的比值：cot⁡θ=ba{\displaystyle \cot {\theta }={\frac {b}{a}}}cotθ=ab

θ{\displaystyle \theta }θ的正割是斜边与邻边的比值：sec⁡θ=hb{\displaystyle \sec {\theta }={\frac {h}{b}}}secθ=bh

θ{\displaystyle \theta }θ的余割是斜边与对边的比值：csc⁡θ=ha{\displaystyle \csc {\theta }={\frac {h}{a}}}cscθ=ah

2、直角坐标系中的定义

正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
sin⁡θ=yr{\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}}sinθ=ry	cos⁡θ=xr{\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}}cosθ=rx	tan⁡θ=yx{\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}}tanθ=xy	cot⁡θ=xy{\displaystyle \cot \theta ={\frac {x}{y}}}cotθ=yx	sec⁡θ=rx{\displaystyle \sec \theta ={\frac {r}{x}}}secθ=xr	csc⁡θ=ry{\displaystyle \csc \theta ={\frac {r}{y}}}cscθ=yr

3、性质

正弦定理：

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R，{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R，}sinAa=sinBb=sinCc=2R，其中，R是三角形外接圆的半径长度：

R=abc(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(b+c−a).{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}R=(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(b+c−a)abc.

另一个有关于正弦的法则可以用来计算三角形的面积。在给定两条边的长度以及它们所夹角的角度，该三角形的面积为：Area=12absin⁡C.{\displaystyle {Area}={\frac {1}{2}}ab\sin C.}Area=21absinC.

余弦定理：

c2=a2+b2−2abcos⁡γ{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }c2=a2+b2−2abcosγ

同样，也可以将其改为：

b2=c2+a2−2cacos⁡βa2=b2+c2−2bccos⁡α{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta }\\{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }b2=c2+a2−2cacosβa2=b2+c2−2bccosα

其中 c{\displaystyle c}c 是 γ{\displaystyle \gamma }γ 角的对边，而 a{\displaystyle a}a 和 b{\displaystyle b}b 是 γ{\displaystyle \gamma }γ 角的邻边。勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当 γ{\displaystyle \gamma }γ 为 90∘{\displaystyle 90^{\circ }}90∘ 时，cos⁡γ=0{\displaystyle \cos \gamma =0}cosγ=0，等式可被简化为 c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}c2=a2+b2。

正切定理：

任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商：

a−ba+b=tanα−β2tanα+β2{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha +\beta }{2}}}}}a+ba−b=tan2α+βtan2α−β

b−cb+c=tanβ−γ2tanβ+γ2{\displaystyle {\frac {b-c}{b+c}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\beta +\gamma }{2}}}}}b+cb−c=tan2β+γtan2β−γ

c−ac+a=tanγ−α2tanγ+α2{\displaystyle {\frac {c-a}{c+a}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\gamma +\alpha }{2}}}}}c+ac−a=tan2γ+αtan2γ−α

毕达哥拉斯恒等式：

sin⁡2⁣x+cos⁡2⁣x=1{\displaystyle \sin ^{2}\!x+\cos ^{2}\!x=1}sin2x+cos2x=1 ⇒ tan⁡2⁣x+1=sec⁡2⁣x{\displaystyle \tan ^{2}\!x+1=\sec ^{2}\!x}tan2x+1=sec2x，1+cot⁡2⁣x=csc⁡2⁣x.{\displaystyle 1+\cot ^{2}\!x=\csc ^{2}\!x.}1+cot2x=csc2x.

和差公式：

正弦	sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,}sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
余弦	cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,}cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
正切	tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ
余切	cot⁡(α±β)=cot⁡αcot⁡β∓1cot⁡β±cot⁡α{\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}cot(α±β)=cotβ±cotαcotαcotβ∓1
正割	sec⁡(α±β)=sec⁡αsec⁡β1∓tan⁡αtan⁡β{\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}sec(α±β)=1∓tanαtanβsecαsecβ
余割	csc⁡(α±β)=csc⁡αcsc⁡βcot⁡β±cot⁡α{\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )={\frac {\csc \alpha \csc \beta }{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}csc(α±β)=cotβ±cotαcscαcscβ

倍角公式：

	弦	切	割
二倍角公式正	sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ=2tan⁡θ1+tan⁡2θ{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}sin2θ=2sinθcosθ =1+tan2θ2tanθ	tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ=11−tan⁡θ−11+tan⁡θ{\displaystyle {\begin{aligned}\tan 2\theta &={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\ \\&={\frac {1}{1-\tan \theta }}-{\frac {1}{1+\tan \theta }}\end{aligned}}}tan2θ=1−tan2θ2tanθ =1−tanθ1−1+tanθ1	sec⁡2θ=sec⁡2θ1−tan⁡2θ=sec⁡2θ2−sec⁡2θ{\displaystyle {\begin{aligned}\sec 2\theta &={\frac {\sec ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\\&={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}\end{aligned}}}sec2θ=1−tan2θsec2θ=2−sec2θsec2θ
二倍角公式余	cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ=1−tan⁡2θ1+tan⁡2θ{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}cos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1=1−2sin2θ=1+tan2θ1−tan2θ	cot⁡2θ=cot⁡2θ−12cot⁡θ=cot⁡θ−tan⁡θ2{\displaystyle {\begin{aligned}\cot 2\theta &={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\&={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}\end{aligned}}}cot2θ=2cotθcot2θ−1=2cotθ−tanθ	csc⁡2θ=csc⁡2θ2cot⁡θ=sec⁡θcsc⁡θ2{\displaystyle {\begin{aligned}\csc 2\theta &={\frac {\csc ^{2}\theta }{2\cot \theta }}\\&={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}\end{aligned}}}csc2θ=2cotθcsc2θ=2secθcscθ
三倍角公式正	sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ{\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,}sin3θ=3sinθ−4sin3θ	tan⁡3θ=3tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ{\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}tan3θ=1−3tan2θ3tanθ−tan3θ	sec⁡3θ=sec⁡3θ4−3sec⁡2θ{\displaystyle \sec 3\theta ={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}sec3θ=4−3sec2θsec3θ
三倍角公式余	cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ{\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}cos3θ=4cos3θ−3cosθ	cot⁡3θ=cot⁡3θ−3cot⁡θ3cot⁡2θ−1{\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {\cot ^{3}\theta -3\cot \theta }{3\cot ^{2}\theta -1}}}cot3θ=3cot2θ−1cot3θ−3cotθ	csc⁡3θ=csc⁡3θ3csc⁡2θ−4{\displaystyle \csc 3\theta ={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}csc3θ=3csc2θ−4csc3θ
半角公式正	sin⁡θ2=±1−cos⁡θ2{\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}sin2θ=±21−cosθ	tan⁡θ2=csc⁡θ−cot⁡θ=±1−cos⁡θ1+cos⁡θ=sin⁡θ1+cos⁡θ=1−cos⁡θsin⁡θ=cos⁡θ+sin⁡θ−1cos⁡θ−sin⁡θ+1{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta +\sin \theta -1}{\cos \theta -\sin \theta +1}}\end{aligned}}}tan2θ=cscθ−cotθ=±1+cosθ1−cosθ=1+cosθsinθ=sinθ1−cosθ=cosθ−sinθ+1cosθ+sinθ−1	sec⁡θ2=±2sec⁡θsec⁡θ+1{\displaystyle \sec {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {2\sec \theta }{\sec \theta +1}}}}sec2θ=±secθ+12secθ
半角公式余	cos⁡θ2=±1+cos⁡θ2{\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}cos2θ=±21+cosθ	cot⁡θ2=csc⁡θ+cot⁡θ=±1+cos⁡θ1−cos⁡θ=sin⁡θ1−cos⁡θ=1+cos⁡θsin⁡θ=cos⁡θ−sin⁡θ+1cos⁡θ+sin⁡θ−1{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta -\sin \theta +1}{\cos \theta +\sin \theta -1}}\end{aligned}}}cot2θ=cscθ+cotθ=±1−cosθ1+cosθ=1−cosθsinθ=sinθ1+cosθ=cosθ+sinθ−1cosθ−sinθ+1	csc⁡θ2=±2sec⁡θsec⁡θ−1{\displaystyle \csc {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {2\sec \theta }{\sec \theta -1}}}}csc2θ=±secθ−12secθ

积化和差与和差化积恒等式：

积化和差	和差化积
sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}sinαcosβ=2sin(α+β)+sin(α−β)	sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β
cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)2{\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}cosαsinβ=2sin(α+β)−sin(α−β)	sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2{\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β
cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}cosαcosβ=2cos(α+β)+cos(α−β)	cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β
sin⁡αsin⁡β=−cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)2{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}sinαsinβ=−2cos(α+β)−cos(α−β)	cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β

平方差公式：

sin⁡(x+y)sin⁡(x−y)=sin⁡2x−sin⁡2y=cos⁡2y−cos⁡2x{\displaystyle \sin(x+y)\sin(x-y)=\sin ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\cos ^{2}{x}\,}sin(x+y)sin(x−y)=sin2x−sin2y=cos2y−cos2x

cos⁡(x+y)cos⁡(x−y)=cos⁡2x−sin⁡2y=cos⁡2y−sin⁡2x{\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\sin ^{2}{x}\,}cos(x+y)cos(x−y)=cos2x−sin2y=cos2y−sin2x

4、三角函数的反函数

在笛卡尔平面上f(x)=arcsin⁡x{\displaystyle f(x)=\arcsin x}f(x)=arcsinx(红)和f(x)=arccos⁡x{\displaystyle f(x)=\arccos x}f(x)=arccosx(绿)函数的常用主值的图像。

在笛卡尔平面上f(x)=arctan⁡x{\displaystyle f(x)=\arctan x}f(x)=arctanx(红)和f(x)=arccot⁡x{\displaystyle f(x)=\operatorname {arccot} x}f(x)=arccotx(绿)函数的常用主值的图像。

在笛卡尔平面上f(x)=arcsec⁡x{\displaystyle f(x)=\operatorname {arcsec} x}f(x)=arcsecx(红)和f(x)=arccsc⁡x{\displaystyle f(x)=\operatorname {arccsc} x}f(x)=arccscx(绿)函数的常用主值的图像。

名称	常用符号	定义	定义域	值域
反正弦	y=arcsin⁡x{\displaystyle y=\arcsin x}y=arcsinx	x=sin⁡y{\displaystyle x=\sin y}x=siny	[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}[−1,1]	[−π2,π2]{\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}[−2π,2π]
反余弦	y=arccos⁡x{\displaystyle y=\arccos x}y=arccosx	x=cos⁡y{\displaystyle x=\cos y}x=cosy	[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}[−1,1]	[0,π]{\displaystyle [0,\pi ]}[0,π]
反正切	y=arctan⁡x{\displaystyle y=\arctan x}y=arctanx	x=tan⁡y{\displaystyle x=\tan y}x=tany	R{\displaystyle \mathbb {R} }R	(−π2,π2){\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(−2π,2π)
反余切	y=arccot⁡x{\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}y=arccotx	x=cot⁡y{\displaystyle x=\cot y}x=coty	R{\displaystyle \mathbb {R} }R	(0,π){\displaystyle (0,\pi )}(0,π)
反正割	y=arcsec⁡x{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}y=arcsecx	x=sec⁡y{\displaystyle x=\sec y}x=secy	(−∞,−1]∪[1,+∞){\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}(−∞,−1]∪[1,+∞)	[0,π2)∪(π2,π]{\displaystyle [0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]}[0,2π)∪(2π,π]
反余割	y=arccsc⁡x{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x}y=arccscx	x=csc⁡y{\displaystyle x=\csc y}x=cscy	(−∞,−1]∪[1,+∞){\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}(−∞,−1]∪[1,+∞)	[−π2,0)∪(0,π2]{\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]}[−2π,0)∪(0,2π]

反函数的性质：

余角：

arccos⁡x=π2−arcsin⁡x{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}arccosx=2π−arcsinx

arccot⁡x=π2−arctan⁡x{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}arccotx=2π−arctanx

arccsc⁡x=π2−arcsec⁡x{\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x}arccscx=2π−arcsecx

负数参数：

arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x⁣arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x⁣arctan⁡(−x)=−arctan⁡x⁣arccot⁡(−x)=π−arccot⁡x⁣arcsec⁡(−x)=π−arcsec⁡x⁣arccsc⁡(−x)=−arccsc⁡x⁣{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}\\{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}\\{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}\\{\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}\\{\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!}\\{\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!}arcsin(−x)=−arcsinxarccos(−x)=π−arccosxarctan(−x)=−arctanxarccot(−x)=π−arccotxarcsec(−x)=π−arcsecxarccsc(−x)=−arccscx

倒数参数：

arccos⁡1x=arcsec⁡x{\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arcsec} x}arccosx1=arcsecx

arcsin⁡1x=arccsc⁡x{\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arccsc} x}arcsinx1=arccscx

arctan⁡1x=π2−arctan⁡x=arccot⁡x,x>0{\displaystyle \arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,\ } {\displaystyle \ x>0}arctanx1=2π−arctanx=arccotx, x>0

arctan⁡1x=−π2−arctan⁡x=−π+arccot⁡x,x<0{\displaystyle \arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,\ } {\displaystyle \ x<0}arctanx1=−2π−arctanx=−π+arccotx, x<0

arccot⁡1x=π2−arccot⁡x=arctan⁡x,x>0{\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\ } {\displaystyle \ x>0}arccotx1=2π−arccotx=arctanx, x>0

arccot⁡1x=3π2−arccot⁡x=π+arctan⁡x,x<0{\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\ } {\displaystyle \ x<0}arccotx1=23π−arccotx=π+arctanx, x<0

arcsec⁡1x=arccos⁡x{\displaystyle \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x}arcsecx1=arccosx

arccsc⁡1x=arcsin⁡x{\displaystyle \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x}arccscx1=arcsinx

二、参数方程

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数t的函数：{x=f(t)y=g(t){\displaystyle {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}}{x=f(t)y=g(t)，并且对于 t 的每一个允许的取值，由方程组确定的点 (x, y) 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程.

直线：

[点斜式]过(x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}(x0,y0)，斜率为 m{\displaystyle m}m 的直线:{x=x0+ty=y0+mt{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\\y=y_{0}+mt\end{cases}}}{x=x0+ty=y0+mt

[点向式]过(x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}(x0,y0), 方向向量为(u,v){\displaystyle (u,v)}(u,v)的直线：{x=x0+uty=y0+vt{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+ut\\y=y_{0}+vt\end{cases}}}{x=x0+uty=y0+vt

圆：{x=rcos⁡ty=rsin⁡t{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}}{x=rcosty=rsint

椭圆：{x=acos⁡ty=bsin⁡t{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}{x=acosty=bsint

双曲线：{x=asec⁡ty=btan⁡t{\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{cases}}}{x=asecty=btant

抛物线：{x=2cty=t2{\displaystyle {\begin{cases}x=2ct\\y=t^{2}\end{cases}}}{x=2cty=t2

螺线：{x=tcos⁡lty=tsin⁡lt{\displaystyle {\begin{cases}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{cases}}}{x=tcoslty=tsinlt

摆线：{x=r⋅(t−sin⁡t)y=r⋅(1−cos⁡t){\displaystyle {\begin{cases}x=r\cdot \left(t-\sin t\right)\\y=r\cdot \left(1-\cos t\right)\end{cases}}}{x=r⋅(t−sint)y=r⋅(1−cost)

三、极坐标

从极坐标 r{\displaystyle r}r 和 θ{\displaystyle \theta }θ 可以变换为直角坐标：

r=y2+x2{\displaystyle r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad }r=y2+x2（参阅勾股定理）

θ=atan2⁡(y,x){\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)\quad }θ=atan2(y,x)（atan2 是已将象限纳入考量的反正切函数）

或

θ={arctan⁡(yx)if x>0arctan⁡(yx)+πif x<0and y≥0arctan⁡(yx)−πif x<0and y<0π2if x=0and y>0−π2if x=0and y<00if x=0and y=0{\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\end{cases}}}θ=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧arctan(xy)arctan(xy)+πarctan(xy)−π2π−2π0if x>0if x<0 and y≥0if x<0 and y<0if x=0 and y>0if x=0 and y<0if x=0 and y=0

从直角坐标 x{\displaystyle x}x 和 y{\displaystyle y}y 也可以变换为极坐标：

x=rcos⁡θy=rsin⁡θ{\displaystyle x=r\cos \theta }\\{\displaystyle y=r\sin \theta }x=rcosθy=rsinθ