第一讲高数基本知识1

函数定义
- 反函数
- - 性质
- 复合函数
- - 例题
函数特性
- 有界性
- - 【注】
- 单调性
- - 求导证明
  - 定义证明
- 奇偶性
- - 奇函数
  - 偶函数
  - 【注】
- 周期性
- - 定义
  - 【注】
- 对称性
- - 【注】
函数图像
- 常见图像
- - 【注】
- 三角函数
证明函数值为C
- 【注】
极坐标下作图
- 描点法
- 草图法
- 经典图形
- - 心形线
  - 玫瑰线
  - 阿基米德螺线
  - 伯努利双曲线
  - 摆线
  - 星形线

函数定义

可以一对一、多对一

反函数

y = 2 x 与 x = 1 / 2 y 互为反函数 y=2x与x=1/2y 互为反函数 y=2x与x=1/2y互为反函数

记作 x = f − 1 ( x ) = f [ f − 1 ( x ) ] x=f^{-1}(x)=f\left[f^{-1}(x)\right] x=f−1(x)=f[f−1(x)]

性质

单调函数一点有反函数，反过来不一定

反函数关于 y = x y=x y=x对称

复合函数

一层包一层

例题

广义化
画图
写答案

函数特性

有界性

有界无界讨论必须指明区间

有边即有界

【注】

原函数 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导，导函数 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有界 → {\to} →原函数 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有界

单调性

求导证明

f ( x ) ′ > 0 f(x)^{'}>0 f(x)′>0 单调递增

定义证明

( x 1 − x 2 ) [ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] > 0 (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 (x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0 单调递增

奇偶性

奇函数

f ( − x ) = − f ( x ) F 1 ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) \begin{array}{l} f(-x)=-f(x) \\ F 1(x)=f(x)-f(-x) \end{array} f(−x)=−f(x)F1(x)=f(x)−f(−x)

关于原点对称

原点有定义时 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0

偶函数

f ( − x ) = f ( x ) F 1 ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) \begin{array}{l} f(-x)=f(x) \\ F 1(x)=f(x)+f(-x) \end{array} f(−x)=f(x)F1(x)=f(x)+f(−x)

关于 y y y轴定义

原点有定义时 f ′ ( 0 ) = 0 f^{'}(0)=0 f′(0)=0

【注】

可导偶函数周期一样，导函数为奇函数

可导奇函数，导函数为偶函数
连续奇函数原函数一定是偶函数

…… 偶函数只有一个原函数是奇函数
- 偶函数仅 y y y轴对称,奇函数全都要。太贪心

周期性

定义

f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x)

周期为T

【注】

连续且周期为T的函数，若 ∫ 0 T f ( x ) d x = 0 \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=0 ∫0Tf(x)dx=0,则 f ( x ) f(x) f(x)周期也为T

对称性

对称轴	结果	表达式
x	y值变号	y = f ( x ) 与 y = − f ( x ) y=f(x) 与 y=-f(x) y=f(x)与y=−f(x)
y	x值变号	y = f ( x ) 与 y = f ( − x ) y=f(x)与 y=f(-x) y=f(x)与y=f(−x)
原点	都变	y = f ( x ) 与 y = − f ( − x ) y=f(x) 与y=-f(-x) y=f(x)与y=−f(−x)
x = a x=a x=a		f ( x ) = f ( 2 a − x ) 或 f ( x + a ) = f ( x − a ) f(x)=f(2 a-x)或 f(x+a)=f(x-a) f(x)=f(2a−x)或f(x+a)=f(x−a),充要
y = b y=b y=b
y = a x + b y=ax+b y=ax+b

【注】

f ( x 1 ) 与 f ( x 2 ) 的对称轴为 x 1 + x 2 2 f(x_1)与f(x_2)的对称轴为\frac{x_1+x_2}{2} f(x1)与f(x2)的对称轴为2x1+x2
充要条件

充分必要条件

前后乱推，乱杀级别

函数图像

常见图像

x > 0 时， y = x , y = x 2 , y = x , y = x 3 , y = x 3 , y = 1 x x>0时，\quad y=x, \quad y=x^{2}, \quad y=\sqrt{x}, \quad y=x^{3}, \quad y=\sqrt[3]{x}, \quad y=\frac{1}{x}\quad x>0时，y=x,y=x2,y=x ,y=x3,y=3x ,y=x1单调性相同

【注】

求 u , u 3 ， 1 u \quad\sqrt{u}, \sqrt[3]{u}，\frac{1}{u}\quad u ,3u ，u1最值,研究 u \quad u u
∣ u ∣ |u|\quad ∣u∣，研究 u 2 \quad u^2 u2
对于 u 1 u 2 u 3 ，研究 ln ⁡ ( u 1 u 2 u 3 ) = ln ⁡ u 1 + ln ⁡ u 2 + ln ⁡ u 3 对于u_{1} u_{2} u_{3} \quad ，研究\quad \ln \left(u_{1} u_{2} u_{3}\right)=\ln u_{1}+\ln u_{2}+\ln u_{3} 对于u1u2u3，研究ln(u1u2u3)=lnu1+lnu2+lnu3

三角函数

证明函数值为C

求导得 f ′ ( x ) = 0 f^{'}(x)=0 f′(x)=0
带入任意值， f ( x 0 ) = c f(x_0)=c f(x0)=c

原理：拉格朗日中值定理

【注】

极坐标下作图

描点法

草图法

θ \theta θ	r r r
0 0 0	0 0 0
π 2 \frac{\pi}{2} 2π	a a a
π {\pi} π	2 a 2a 2a
3 π 2 \frac{3\pi}{2} 23π	a a a
2 π {2\pi} 2π	0 0 0

作图如下

经典图形

心形线

r = a ( 1 − cos ⁡ θ ) ( a > 0 ) r=a(1-\cos \theta)(a>0) r=a(1−cosθ)(a>0)

玫瑰线

r = a sin ⁡ 3 θ ( a > 0 ) r=a \sin 3 \theta(a>0) r=asin3θ(a>0)

阿基米德螺线

r = a θ ( a > 0 , θ ⩾ 0 ) r=a \theta(a>0, \theta \geqslant 0) r=aθ(a>0,θ⩾0)

伯努利双曲线

摆线

在轮子上画个点，随着车走轮子的轨迹

星形线

小圆在一固定大圆内部滚动，若 r 大 = 4 r 小 r_{大}=4r_{小} r大=4r小，则