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问题描述

化为背包问题来理解，就是说有nnn个物品，每个物品的体积为aia_iai，价值为bib_ibi，此时的背包的容积没有限制，但要求放入背包的物品的总体积要为kkk的倍数时价值才有意义。
数据范围：
1≤n,k≤10001\leq n,k \leq 10001≤n,k≤1000
1≤ai,bi≤1091\leq a_i,b_i \leq 10^91≤ai,bi≤109

分析

总体积为kkk的倍数，也就是对kkk取模的结果为000，所以我们以dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]作为状态，表示处理完第iii个物品后，总体积对kkk取模为jjj的最大价值。
状态转移方程为：dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][(j+k−a[i])%k]+b[i])dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][(j+k-a[i])\%k]+b[i])dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][(j+k−a[i])%k]+b[i])
需要注意的是，如果不提前处理a[i]a[i]a[i]，(j+k−a[i])(j+k-a[i])(j+k−a[i])所得结果会是一个负值(带负数的取模运算)，取模结果也可能会是负数，也就会数组越界，导致结果出错，所以提前处理a[i]a[i]a[i]。
其次，关于边界的设置，dp[0][0]=0dp[0][0]=0dp[0][0]=0是肯定的，但对于dp[i][0](0<i<k)dp[i][0](0<i<k)dp[i][0](0<i<k)的情况，如果同样置为000，在后面的讨论中将会出现问题。
假设第一个物品的体积为666，价值为101010，k=10k=10k=10，在讨论中会出现dp[1][5]=10dp[1][5]=10dp[1][5]=10的情况，因为我们预设了dp[0][9]dp[0][9]dp[0][9]是有意义的，但实际上这种情况是没有意义无需参与讨论的。

我们可以将无意义情况置为一个极小值，也可以另外开一个数组来记录它们的情况，后续更新它们的状态。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1005;
ll n,k,dp[N][N],a[N],b[N];
int main(){cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i]>>b[i];a[i]%=k;}for(int j=1;j<=k;j++)dp[0][j]=-1e16;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<k;j++)dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][(j+k-a[i])%k]+b[i]);}cout<<(dp[n][0]?dp[n][0]:-1)<<endl;
}

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