容斥原理-51nod1284

原理

这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

公式

简单来说就是奇数就加上偶数就减去比如要求集合 $A\bigcap B\bigcap C$ $\bigcap D$

就= A + B + C + D - AB - AC - AD - BC - BD - CD + ABC + ABD + ACD + BCD - ABCD（集合之间都是交集符号省略没写）

应用

我们看两个题目

链接 51nod1284

给出一个数N，求1至N中，有多少个数不是2 3 5 7的倍数。例如N = 10，只有1不是2 3 5 7的倍数。

让求不是2 3 5 7 的倍数的个数那我们求出是2 3 5 7 的倍数的个数总数一减就好了

下面问题就是求 2 3 5 7的倍数的个数

有两个性质：

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

根据性质二求2 3 5 7的倍数不止要找 2 的倍数 3 的倍数 5 的 7的还要找 2x3 2x5 2x7 2x3x5 2x5x7等等等等

（一共有几个请看代码。。）

每个数和他的倍数可以看作一个集合就相当于求这四个集合的并集就是答案

2的倍数 n 中 x 的倍数有多少个可以用 n / x 得到

2 和3 的倍数个数那么就是 n / （2*3） 注意这里的2和3是互质的如果不互质那么应该是 n*gcd(a,b) / (a*b)

通过这个公式我们就求出了容斥原理公式中的每一项了总数一减就是答案了

AC代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
int main(){scanf("%lld",&n);ll sum=n/2+n/3+n/5+n/7-n/(2*3)-n/(2*5)-n/(2*7)-n/(3*5)-n/(3*7)-n/(5*7)+n/(2*3*5)+n/(2*3*7)+n/(2*5*7)+n/(3*5*7)-n/(2*3*5*7);printf("%I64d",n-sum);
}

题目二

链接西北大学第四届程序设计竞赛A题

FF成天到晚咕了NE的训练。这可把NE急坏了。为了拯救ff的知识勺，拥有知识海的NE决定去现实gank一波FF,逼他训练。

可去gank了几波发现ff居然有着成千上万的小伙伴在帮助FF阻拦NE,这几次gank,NE都失败了。无奈之下痛定思痛,NE决定也带上自己的109个小伙伴去gankFF。

FF提前得知了这个消息,这可把FF急坏了.那可是109个人啊！

这时FF的小伙伴EN说：“FF莫慌，我这里有3盏BD哥的神灯，上面分别有一个素数，可以让编号被上面的数字整除的人昏睡过去，这样就可以大大削减NE的人数！”（FF所带的109个人分别被编号为1~109）

FF：“好！”。FF如同找到了救命稻草。但是由于只能削减一部分人数，FF需要召集的人数应该大于等于NE剩下的人数，但是时间紧急，FF算不出来了，你能告诉FF至少要准备多少人吗？

输入描述:

第一行包含一个正整数T（T<200）

之后的T行每行包含3个正整数,a,b,c(2<=a,b,c<106；a!=b,b!=c,c!=a；保证a,b,c为素数)

分别代表3盏神灯上的数字。

输出描述:
输出T行
每行一个整数,表示FF至少要准备的人数。
输入
3
2 3 5
5 7 11
13 2 3
输出
266666666
623376624
307692308

其实就是统计 a + b + c - ab - ac - bc + abc

code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e9;
ll T,a,b,c;
int main(){scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);ll ans=maxn/a+maxn/b+maxn/c-maxn/(a*b)-maxn/(a*c)-maxn/(b*c)+maxn/(a*b*c);printf("%lld\n",maxn-ans);}
}

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输出描述:

输入

输出

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