解题报告（二）C、（darkBZOJ 3771）Triple（生成函数 + FFT + 容斥原理）（3）

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BZOJ 没了呜呜呜

C、（BZOJ 3771）Triple（生成函数 + FFT）（3）

Link

https://darkbzoj.tk/problem/3771

Problem

我们讲一个悲伤的故事。
从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。
这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫一看：“是啊是啊！”
水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”
水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。
于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”
水神看着他，哈哈大笑道：
“你看看你现在的样子，真是丑陋！”
之后就消失了。
樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。
于是他准备回家换一把斧头。
回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。
水神拿着的的确是他的斧头。
但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。
换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。
樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。
他想统计他的损失。
樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。
他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。
注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

Input

第一行是整数N，表示有N把斧头。
接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。

Output

若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。

Solution

题意可以简化为：

给定 nnn 个互不相同的数，问你从这 nnn 个数中选出 1,2,31,2,31,2,3个（不能重复选），所选的三个数的和的方案数是多少，输出所有可能的和 xxx 以及 xxx 的方案数 yyy 。

注：若选取了两个数 aaa 和 bbb ，(a,b)(a,b)(a,b) 和 (b,a)(b,a)(b,a) 视为一种方案。若选取了三个数 aaa 、 bbb 和 ccc，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

这是一个比较基础的生成函数的应用。

nnn 个数只能选一次，有这个限制条件不好直接计算，正难则反，我们可以先忽略这个限制条件，也就是先考虑每个数可以选择任意次的方案数，然后利用容斥原理（奇加偶减）减去重复选的方案数即可。

我们这里使用生成函数，因为这里的价值是每个数的权值而不是个数什么的，所以我们设若选择了一个权值为 www 的物品，则 xwx^wxw 的系数 a[w] ++ 。

这样我们就可以设 A(x)A(x)A(x) 表示每个物品选择一次的生成函数， B(x)B(x)B(x) 表示每个物品选择两次的生成函数， C(x)C(x)C(x) 表示每个物品选择三次的生成函数。

先考虑选择三个物品的情况

考虑去掉重复。

选择了三个物品，首先考虑有同一个物品选择了两次的冗余情况，即三个物品中有两个是重复选择的，也就是 C32C_{3}^{2}C32，两个重复选择的方案数为 B(x)B(x)B(x)，乘上剩下一个物品 A(x)A(x)A(x)，此时答案减去 C32×B(x)×A(x)=3B(x)A(x)C_3^2\times B(x)\times A(x)=3B(x)A(x)C32×B(x)×A(x)=3B(x)A(x)。

然后考虑有同一个物品选择了三次的冗余情况。

很明显同一个物品选择了三次的方案数为 C(x)C(x)C(x)，但是我们在同一个物品选择了两次的时候已经减去过了，因为两个相同，加上另一个，另一个也有可能与这两个相同。并且因为上面减去的时候减掉了三倍，也就是多减了两倍，所以再加上二倍，即答案再加上2×C(x)2\times C(x)2×C(x)。（奇加偶减）

最后因为题目中说了选择三个物品的时候有 666 种是重复的，所以需要除以 666。

即选择三个物品的方案数为：
ans=A(x)3−3B(x)A(x)+2C(x)6ans=\frac{A(x)^3-3B(x)A(x)+2C(x)}{6} ans=6A(x)3−3B(x)A(x)+2C(x)

再考虑选择两个物品的情况

显然不考虑重复选择两个物品的方案数为 A(x)2A(x)^2A(x)2，去掉冗余，即减去 B(x)B(x)B(x)。因为 B(x)B(x)B(x) 的含义就是一个物品被选择了两次。

并且题目种告诉我们了选择两个数有两种是重复的，所以除以 222。

即选择两个物品的方案数为：

ans=A(x)2−B(x)2ans= \frac{A(x)^2-B(x)}{2} ans=2A(x)2−B(x)

最后考虑选择一个物品的情况

显然此时方案数为 A(x)A(x)A(x)

故总方案数为：

ans=A(x)3−3B(x)A(x)+2C(x)6+A(x)2−B(x)2+A(x)ans=\frac{A(x)^3-3B(x)A(x)+2C(x)}{6}+\frac{A(x)^2-B(x)}{2}+A(x) ans=6A(x)3−3B(x)A(x)+2C(x)+2A(x)2−B(x)+A(x)

直接FFT求卷积即可。

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef int itn;
typedef pair<int, int>PII;
const int N = 2e5 + 7, mod = 1e9 + 7;
const double PI = acos(-1.0);int n, m, limit, L, RR[N], maxx;struct Complex
{double x, y;Complex(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) { }
}a[N], A[N], B[N], C[N], D[N], ans[N];Complex operator + (Complex a, Complex b) {return Complex(a.x + b.x, a.y + b.y);}
Complex operator - (Complex a, Complex b) {return Complex(a.x - b.x, a.y - b.y);}
Complex operator * (Complex a, Complex b) {return Complex(a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + a.y * b.x);}void FFT(Complex *A, int type)
{for(int i = 0; i < limit; ++ i)if(i < RR[i])swap(A[i], A[RR[i]]);for(int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {Complex wn(cos(PI / mid), (double)type * sin(PI / mid));for(int len = mid << 1, pos = 0; pos < limit; pos += len) {Complex w(1, 0);for(int k = 0; k < mid; ++ k, w = w * wn) {Complex x = A[pos + k];Complex y = w * A[pos + k + mid];A[pos + k] = x + y;A[pos + mid + k] = x - y;}}}if(type == -1) {for(int i = 0; i < limit; ++ i) {A[i].x /= limit;}}
}void solve()
{Complex w3(3.0, 0);Complex w2(2.0, 0), w1in6(1.0 / 6.0, 0), w1in2(1.0 / 2.0, 0);scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; ++ i) {int x;scanf("%d", &x);A[x].x ++ , B[x * 2].x ++ , C[x * 3].x ++ ;maxx = max(maxx, x * 3);}limit = 1, L = 0;while(limit <= maxx) limit <<= 1, L ++ ;for(int i = 0; i < limit; ++ i) {RR[i] = (RR[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));}FFT(A, 1), FFT(B, 1), FFT(C, 1);for(int i = 0; i <= limit; ++ i) {ans[i] = ans[i] + ((A[i] * A[i] * A[i] - w3 * B[i] * A[i] + w2 * C[i]) * w1in6);ans[i] = ans[i] + (A[i] * A[i] - B[i]) * w1in2;ans[i] = ans[i] + A[i];}FFT(ans, -1);for(int i = 0; i < limit; ++ i) {int res = (int)(ans[i].x + 0.5);if(res)printf("%d %d\n", i, res);}
}int main()
{solve();
}

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