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背包问题全攻略

背包问题全攻略
部分背包问题可有贪心法求解：计算PiWi
        数据结构：
        w[i]第i个背包的重量；
        p[i]第i个背包的价值；

(1)每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)：
        A.求最多可放入的重量。
        NOIP2001 装箱问题 
        有一个箱子容量为v(正整数，o≤v≤20000)，同时有n个物品(o≤n≤30)，
每个物品有一个体积 (正整数)。
        要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
        l 搜索方法
      procedure search(k,vinteger); {搜索第k个物品，剩余空间为v}
      var i,jinteger;
      begin
        if v best then best=v;
        if v-(s[n]-s[k-1]) =best then exit; 
        {s[n]为前n个物品的重量和}
        if k =n then begin
          if v w[k] then search(k+1,v-w[k]);
          search(k+1,v);
        end;
      end;
     
        l DP
        F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
        实现将最优化问题转化为判定性问题
        F[I,j]=f[i-1,j-w[i]] (w[I] =j =v) 边界：f[0,0]=true.
        For I=1 to n do
        For j=w[I] to v do F[I,j]=f[I-1,j-w[I]];
        优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。
        F[0]=true;
        For I=1 to n do begin
          F1=f;
          For j=w[I] to v do
          If f[j-w[I]] then f1[j]=true;
          F=f1;
        End;
     
        B.求可以放入的最大价值。
        C.求恰好装满的情况数。
     
(2)每个背包可使用任意次：
        A.求最多可放入的重量。
        状态转移方程为
        f[I,j]=max{f[i-w[j]
        B.求可以放入的最大价值。
        USACO 1.2 Score Inflation
        进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的
数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得
的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的
总分最大，求最大的得分。
        易想到：
f[i,j] = max { f [i- kw[j], j-1] + kv[j] } (0 =k = i div w[j])
        其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
        优化：
      Begin
        FillChar(problem,SizeOf(problem),0);
        Assign(Input,'inflate.in');
        Reset(Input);
        Readln(M,N);
        For i=1 To N Do
        With problem[i] Do
          Readln(point,time);
        Close(Input);
        FillChar(f,SizeOf(f),0);
        For i=1 To M Do
          For j=1 To N Do
          If i-problem[j].time =0 Then
          Begin
            t=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
            If t f[i] Then f[i]=t;
          End;
        Assign(Output,'inflate.out');
        Rewrite(Output);
        Writeln(f[M]);
        Close(Output);
      End.

C.求恰好装满的情况数。
        Ahoi2001 Problem2
        求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
        思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。
      procedure try(depinteger);
      var i,jinteger;
      begin
        cal; {此过程计算当前系数的计算结果，now为结果}
        if now n then exit; {剪枝}
        if dep=l+1 then begin {生成所有系数}
          cal;
          if now=n then inc(tot);
          exit;
        end;
        for i=0 to n div pr[dep] do begin
          xs[dep]=i;
          try(dep+1);
          xs[dep]=0;
        end;
      end;
     
        思路二，递归搜索效率较高
      procedure try(dep,restinteger);
      var i,j,xinteger;
      begin
        if (rest =0) or (dep=l+1) then begin
          if rest=0 then inc(tot);
          exit;
        end;
        for i=0 to rest div pr[dep] do
          try(dep+1,rest-pr[dep]i);
      end;
     
        思路三：可使用动态规划求解
        USACO1.2 money system
        V个物品，背包容量为n，求放法总数。
        转移方程：
      Procedure update;
      var j,kinteger;
      begin
        c=a;
        for j=0 to n do
        if a[j] 0 then
        for k=1 to n div now do
        if j+nowk =n then inc(c[j+nowk],a[j]);
        a=c;
      end;
        {main}
      begin 
        read(now); {读入第一个物品的重量}
        i=0; {a[i]为背包容量为i时的放法总数}
        while i =n do begin 
         a[i]=1; inc(i,now); end;
         {定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值}
        for i=2 to v do
        begin
          read(now);
          update; {动态更新}
        end;
        writeln(a[n]);
      End.