问题描述

有n个重量分别为{w1，w2，…，wn}的物品，它们的价值分别为{v1，v2，…，vn}，给定一个容量为W的背包。
设计从这些物品中选取一部分物品放入该背包的方案，每个物品要么选中要么不选中，要求选中的物品不仅能够放到背包中，而且重量和为W具有最大的价值。

问题求解

对于可行的背包装载方案，背包中物品的总重量不能超过背包的容量。
最优方案是指所装入的物品价值最高，即 v1x1+v2x2+…+vn*xn（其中xi取0或1，取1表示选取物品i）取得最大值。
在该问题中需要确定x1、x2、…、xn的值。假设按i=1，2，…，n的次序来确定xi的值，对应n次决策即n个阶段。
设置二维动态规划数组dp，dp[i][r]表示背包剩余容量为r（1≤r≤W），已考虑物品1、2、…、i（1≤i≤n）时背包装入物品的最优价值。显然对应的状态转移方程如下：
dp[i][0]=0（背包不能装入任何物品，总价值为0）
边界条件dp[i][0]=0（1≤i≤n）―边界条件
dp[0][r]=0（没有任何物品可装入，总价值为0）
边界条件dp[0][r]=0（1≤r≤W）―边界条件
dp[i][r]=dp[i-1][r] 当r<w[i]时，物品i放不下
dp[i][r]= MAX{dp[i-1][r]，dp[i-1][r-w[i]]+v[i]}
否则在不放入和放入物品i之间选最优解
这样， dp[n][W]便是0/1背包问题的最优解。
当dp数组计算出来后，推导出解向量x的过程十分简单，从dp[n][W]开始：
（1）若dp[i][r]≠dp[i-1][r]，若dp[i][r]=dp[i-1][r-w[i]]+v[i]，置x[i]=1，累计总价值maxv+=v[i]，递减剩余重量r=r-w[i]。
（2）若dp[i][r]=dp[i-1][r]，表示物品i放不下或者不放入物品i，置x[i]=0。

代码

int n = 5, W = 10;
int w[MAXN] = { 0,2,2,6,5,4 };
int v[MAXN] = { 0,6,3,5,4,6 };
int dp[MAXN][MAXN];
int x[MAXN];
int maxv;
void Knap()
{int i, r;for (i = 0; i <= n; i++)dp[i][0] = 0;for (r = 0; r <= W; r++)dp[0][r] = 0;for (i = 1; i <= n; i++){for (r = 1; r <= W; r++){if (r < w[i])dp[i][r] = dp[i - 1][r];elsedp[i][r] = max(dp[i - 1][r], dp[i - 1][r - w[i] + v[i]]);}}
}
void Bulidx()
{int i = n, r = W;maxv = 0;while (i >= 0){if (dp[i][r] != dp[i - 1][r]){x[i] = 1;maxv += v[i];r = r - w[i];}elsex[i] = 0;i--;}
}

算法分析

Knap()算法中含有两重for循环，所以时间复杂度为O(n×W)，空间复杂度为O(n×W)。

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动态规划法求解0/1背包问题

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