放缩法 —— 渐进记号的相关证明

2024-06-09 06:33:32

1. max(f(n),g(n))max(f(n),g(n))\max (f(n), g(n))

max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))

max(f(n), g(n)) = \Theta(f(n)+g(n))

证明如下，只需找到常数 c1,c2,n0>0c1,c2,n0>0c_1,c_2,n_0>0，满足：

c1(f(n)+g(n))≤max(f(n),g(n))≤c2(f(n)+g(n))c1(f(n)+g(n))≤max(f(n),g(n))≤c2(f(n)+g(n))

c_1(f(n)+ g(n))\leq \max(f(n), g(n))\leq c_2(f(n)+g(n))
不妨设 f(n)≥g(n)f(n)≥g(n)f(n)\geq g(n)，则： c1=12,c2=1c1=12,c2=1c_1=\frac12,c_2=1

2. (n+a)b(n+a)b(n+a)^b

对任意实常量 aaa 和 b" role="presentation">bbb，其中 b>0b>0b>0，有：

(n+a)b=Θ(nb)(n+a)b=Θ(nb)

(n+a)^b=\Theta(n^b)
目标是找到 c1,c2,n0c1,c2,n0c_1,c_2,n_0，对所有的 n≥n0n≥n0n\geq n_0：

c1⋅nb≤(n+a)b≤c2⋅nbc1⋅nb≤(n+a)b≤c2⋅nb

c_1\cdot n^b\leq (n+a)^b \leq c_2\cdot n^b

注意到：

n+a≤n+|a|≤2n,|a|≤nn+a≥n−|a|≥12n,|a|≤12nn+a≤n+|a|≤2n,|a|≤nn+a≥n−|a|≥12n,|a|≤12n

n+a\leq n+|a|\leq 2n, \quad |a|\leq n\\ n+a\geq n-|a|\geq \frac12n,\quad |a|\leq \frac12n

当 n≥2|a|n≥2|a|n\geq 2|a|时，

(12n)b≤(n+a)b≤(2n)b(12n)b≤(n+a)b≤(2n)b

\left(\frac12n\right)^b\leq (n+a)^b\leq (2n)^b

n0=2|a|,c1=12b,c2=2bn0=2|a|,c1=12b,c2=2bn_0=2|a|, c_1=\frac1{2^b}, c_2=2^b。

3. lognlog⁡n\log n

试证明，对于任何 ϵ>0ϵ>0\epsilon>0，都有：logn=O(nϵ)log⁡n=O(nϵ)\log n=O(n^\epsilon)

证：我们知道 lnnln⁡n\ln n 的增长很慢，因此总存在 M>0M>0M>0，使得 n>Mn>Mn > M 时，lnn<ϵnln⁡n<ϵn\ln n 。

不妨令，这里的 N=eMN=eMN=e^M，因此当 n>Nn>Nn > N（lnn>Mln⁡n>M\ln n\gt M），所以有：

lnlnn<ϵlnn⇒nlnlnn<nϵlnn⇒lnn<nϵln⁡ln⁡n<ϵln⁡n⇒nln⁡ln⁡n<nϵln⁡n⇒ln⁡n<nϵ

\ln \ln n\lt \epsilon \ln n⇒ n^{\ln \ln n}\lt n^{\epsilon \ln n}⇒ \ln n\lt n^\epsilon

4. ∑nn3∑nn3\sum_n n^3

T(n)=13+23+⋯+n3≤n3+n3+⋯+n3=n4=O(n4)T(n)=13+23+⋯+n3≤n3+n3+⋯+n3=n4=O(n4)

T(n) = 1^3+2^3+\cdots+n^3\leq n^3+n^3+\cdots+n^3=n^4=O(n^4)

5. ∑nlogn∑nlog⁡n\sum_n \log n

log1+log2+⋯+logn≤nlognlog⁡1+log⁡2+⋯+log⁡n≤nlog⁡n

\log 1+\log 2+\cdots+\log n \leq n\log n

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