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第一讲分数阶微分方程

主要参考资料: [4, 5, 7].

1.1 分数阶导数

分数阶导数(Fractional derivatives) 有多种定义方式, 常用的有Riemann-Liouville 分数阶导数, Caputo 分

数阶导数, Grünwald-Letnikov 分数阶导数, 等等. 下面我们就对以上三种定义进行分别介绍, 更多定义可参

见 [3].

我们首先以幂函数为例. 考虑它的整数阶导数, 有

′

′′

由于阶乘只对正整数有定义, 因此无法将上面的定义方式直接推广到分数情形. 此时我们可以借助函数,

将改写成

(1.1)

注意到函数是在复平面的整个右半平面上都有定义的, 因此可以将(1.1) 推广到是正实数的情形, 即

(1.2)

对于一般情形, 分数阶导数可以通过整数阶导数和分数阶积分来表示. 下面我们首先给出分数阶积分

的概念.

1.1.1 分数阶积分

记导数算子为D, 即

d d d

D d D d D d

记 D 表示变上限积分, 即

D d

D D ( D )

2 第一讲分数阶微分方程

易知, 对任意正整数, 都有

D ( D )

即积分算子 D 可以看作是整数阶导数算子的左逆. 但反之不成立. 事实上, 我们有下面的结

论.

引理1.1 设 , 则

∑

D D

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