欧拉是如何计算圆周率的

从牛顿时代以后，计算圆周率就不是必要的工作了，而是一种消遣。牛顿计算的时候，用的是面积法，或者反正弦函数的多项式展开。

欧拉也用一种展开式，反正切的展开式。但是，很独特，与现在常用的反正切大为不同。现在常用的反正切展开式是：

反正切的一种展开

这个公式在欧拉出生前就存在了，为什么呢？据我考证，欧拉出生于1707年，马青发现马青公式的年份是1706年。马青早就把圆周率计算超过了100位。马青用的是这种展开。这种展开，是1671年2月15日，詹姆斯-格雷戈里发现的。公式的限制条件是x大于-1,小于等于1。因此，欧拉计算圆周率纯属消遣。

欧拉使用的独特的反正切展开：

欧拉的反正切公式

尽管直接用arctan(1)可以得到一个简洁优美的表达式，但传说中欧拉使用的是PI/4= arctan(1/7)+arctan(3/4) 来计算的。

复数的乘法

这样两个复数的乘积表明，可以这样选择。欧拉喜欢用复数，不太用正切的和角公式。

反正切之和表示

关键是，1/7并没有带来我们通常以为的麻烦，在欧拉的公式中，变成了0.02的幂。欧拉用这个公式，在1个小时之内完成了20位圆周率的计算。现代的人，必须用计算机才能完成。
前几项的结果如下：

2.48 0.46826667 0.13282986 0.040952686 0.01310424
0.004288649 0.0014251509 4.788507e-4 1.6224588e-4
5.5334385e-5 1.897179e-5 6.5328945e-6 2.2577683e-6
7.82693e-7 2.720533e-7 9.477986e-8 3.308679e-8
1.1570922e-8 4.05295e-9
1.4216501e-9 4.9931126e-10
1.7557178e-10 6.1801265e-11 2.1775085e-11

欧拉的公式

这些公式，不是为了计算圆周率而开发的。相反，是为了计算右边的那些和，而得到的结果。碰巧，结果里有π
那么，为什么要计算这些结果呢？因为欧拉的老师要计算。

很多的结果都有了，后来就有了黎曼的ζ函数。

黎曼ζ函数

黎曼的ζ函数。这个函数的定义域本来是复数。那么，在实数领域的自然数领域，自然应该先计算一些结果。

(希腊字母ζ 读作/'zi:tə/ zeta 泽塔;)
(数学符号真的很混乱，必须吐槽。拉丁字母和希腊字母以及阿拉伯数字都不够用，再加上物理和化学中，混用的符合。还有数学家经常用的怪怪的花体。)

s=1 的时候，是大名鼎鼎的调和级数，虽然是发散的，但也是可以计算的，欧拉给出了结果，与对数和欧拉常数有关，不在这里讨论了。

s为偶数的时候，与π有关。

那么，这些结果是如何得到的呢？

从最简单的平方倒数和开始吧。我见过用傅立叶级数展开二次函数的，然后直接赋值，得证。那种方法应该叫做验证，不能叫做证明，也不是推导。因为欧拉生活的年代比傅立叶早几十年。用傅立叶的级数来证明欧拉的公式，做法就好像用两点间距离公式证明勾股定理一样。尽管数学领域里，定理之间条条大路能相通，但还是应该看看当初是如何走的。

从哪儿开始讨论呢？

大约应该从伯努利数开始。因为欧拉也有老师，欧拉的老师是约翰伯努利。但伯努利数，好像是雅各布伯努利发现的。总之，伯努利兄弟中的一位发现的，他们俩一起研究的。

这种数有什么特点呢？就是出现在自然数幂和中。

自然数幂的和

只有这几个公式，伯努利兄弟是不满意的。他们要求出任意的幂和。也就是说，5次方，6次方，7次方......

任意幂和

这个和怎么求呢？

伯努利数与自然数幂和

其中，括号里的是选择数，Bn是伯努利数。

伯努利数递归计算

对于大于或等于3奇数n，Bn=0

从下标0开始，最初的几个伯努利数是：
0 ; -1/2 ; 1/6; 0; -1/30; 0; 1/42; 0; -1/30; 0; 5/66; 0 ; -691/2730; 0 ; 7/6

这里不推导和计算。过程是比较繁复的。总之，伯努利兄弟解决了所有的自然数幂和。但遇到倒数和的时候，竟然束手无策。可惜的是，当欧拉计算出来的时候，他的老师已经去世了，欧拉只好对着上天告慰。

那么，欧拉究竟是如何计算的呢？

这要从正弦函数的展开说起。早在牛顿之前的时代，人们就已经知晓很多函数的展开。欧拉最喜欢的是e的展开。

exp

那么，

exp(-x)

两个算式相加，平均以后得到

cosh(x)

这些函数的定义域都是复数域，用ix代入，则有：

cos(x)

结果正好跟余弦函数的展开一致。也就是说cos(x)=cosh(ix)。

同样的道理，相减处理后可以得到 sinh(ix)=i sin(x)
以及正弦函数的展开：

sin(x)

然后，用一个特殊值代替x

特殊值平方根

设有这样一个方程：

方程一

这个方程，欧拉用肉眼观察的解是

方程的解

你也能观察出来。

那么，根据韦达定理，已知一个一元多次方程的n个根，方程可以写成这样的形式

韦达定理

先看一个三次方程的例子：

三次方程

左边展开以后，x的系数是多少呢？显然是

系数

也就是说，x的一次幂的系数是：所有的根的倒数和乘以所有根的乘积。而所有根的乘积就是方程的常数项。
如果是偶数个根，添加一个负号。

从上面展开式中，看到，方程的常数项正好是1。一次幂的系数是3的阶乘的相反数。那么，所有根的倒数和就是1/6。

根的倒数和

因此，顺理成章，有：

倒数平方和

同他的老师一样，欧拉不会仅仅满足于求到倒数的平方和，他还要求立方和，4次方和，5次方和...直到找到最普适的公式。

且听下回分解。

作者：aubell
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来源：简书
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