数学小白的探索-欧拉和费马

文章目录

一些数学趣史
关于欧拉猜想以及欧拉公式
费马大定理特殊情况最简单证明
题外话-三千年一遇的一元二次方程解法
写在最后

一些数学趣史

很久没有发表文章了，也许是最近闲的让一向数学其差的我没事看了看数学，发现很多事还比较有趣，特此拿出来分享一下下。
对于欧拉这种大数学家大家一定不会陌生，比较著名的就是欧拉公式，被称为最美的公式。集合了大自然中的e，圆周率 π，实数最基本单位1，还有我们最常见的0以及虚数单位i。
欧拉公式如下:

集合了五种元素。可能我智商不够也并没有看出他的美，真是不好意思但是据说有很多的运用

当然欧拉的数学成就远不止于此。我们先不讨论。
接下来介绍的是一个律师费马。没错他不是一个数学家而是一个律师但是他对数学非常感兴趣。想来我们应该都学过高数，高数上的书中有十大定理，包括最值定理，介值定理，平均值定理，零点定理，费马定理，罗尔定理，拉格朗日中指定理，柯西中值定理，泰勒公式和积分中值定理。这也是我第一次知道费马这个人，而费马也有一个费马小定理用于求逆元，而费马最著名的成就应该就是提出了费马大定理(费马最后定理)。当时费马在图书馆的某本数学书上写了一个公式:

当然这个n一定要大于等于3，他说找不出x,y,z（均为正整数）使此等式成立。对于n=2我们都是很熟悉的，毕达哥拉斯定理，勾三股四玄五初中就有所接触。3²+4²=5²或者5²+12²=13²。那么当n>2是否还成立呢。费马就在那本书上写着(有点没素质，在图书馆书上乱写写画画，不推荐各位这么做)我自己已经知道了如何证明它不成立。但书上篇幅太少了我就不写出来了。你们自己去证明吧。这个看似简单的不等式在接下来的350年中让无数的数学家为其前仆后继。无数人试着去证明却没有人能成功证明。这就是数学史上著名的费马大定理。至于费马无形装逼最为致命，费马自己本人是否真的成功证明就不可知了，但费马时代微积分还未诞生而证明费马大定理需要大量的数论知识，数论正是为了证明费马大定理而诞生的，我这么说大家可以自行参透。

那么困扰数学家350年的难题什么时候迎来了解决呢，答1995年由安德鲁怀尔斯解决

感兴趣的话可以推荐一本书叫***费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜***还蛮有意思的。怀尔斯10岁就在图书馆的书中看到了费马大定理，从此开始与其的渊源。其证明费马大定理的主要工具就是椭圆积分。论文长达100多页。以我这种智商肯定是看不懂的。

自此一个数学难题终于划上了句号。而怀尔斯本人也就获得了阿贝尔奖(阿贝尔。天才数学家，但太穷困潦倒只活了27岁，如果再多活几十年说不定费马大定理可由其证明，因为怀尔斯证明费马大定理使用的方法离不开阿贝尔的研究)，菲尔兹奖等奖项(好像由于怀尔斯在证明费马大定理时已经超过了40岁，但由于他巨大的数学成就还是给他发了个名誉的奖)。

关于欧拉猜想以及欧拉公式

首先就说说这个完美的公式

高数都学过泰勒展开式让我们来回忆一下(以下只列举我们要用到的)

对于虚数大家应该还是有学过，i²=-1
那么根据最基本的泰勒展开式可以得到

再整理一下也就是

我去惊奇的发现

将x=π代入cosπ=-1 sinπ=0就得到最美公式

以上得证。
知道如何证明的前提是我们必须知道泰勒公式。这个也是折磨我高数生涯的东西。现在想着仍然头疼。这个e是自然常数，想必学高数的时候应该也学过一个重要极限

这个最早是和银行存钱利率有关，感兴趣的可以去了解。为什么要说到这个e因为很多人也把e叫欧拉常数。e也有很多运用比如对数螺线方程为

再如一个有趣的现象

这个函数在哪里点取得最大值呢?我们稍稍变化一下

对f(x)求导可得

当x=e时 f’(x)=0,当x>e时 f’(x)<0 x<e时 f’(x)>0 那么x=e时取得最大值

由于e的种种神奇的特性，叫e为自然常数。我们的欧拉公式有这么多元素才被成为最美方程。

那么欧拉悖论又是什么呢?
我们都知道x²+y²=z²是成立的，那么x²+y²+z²=k²（x,y,z,k均为正整数）这个等式成立吗，答案是sure。x=1,y=2,z=2,k=3。等式就成立。欧拉又问x³+y³+z³=k³存在吗，发现x=3,y=4,z=5,k=6时这个等式成立是不是很神奇。好了好了继续

如果说x=3,y=4,z=5,k=6使x²+y²+z²=k²成立，那么使这个等式成立是不是3,4,5，6,7之类的，但是不是如果要使其成立那么最小的整数解是(大家可以使用计算器验证)

到此为止这些是欧拉找出来的，看出规律了吧欧拉就猜测只有n个数的n的次方的和才能表示一个数的n次方,什么意思呢看如下

解决欧拉猜想的转折契机是计算机出现以后，大约欧拉猜想出现200多年后人们使用计算机发现了反例

不信我们就用python的IDE算一下，如下图很明显结果相同

既然欧拉猜想是错误的，那么被人关心的就是是费马大定理，可否找出反例证明费马大定理的错误性呢，如果没有解显然计算机不管跑多少年都是浪费时间。

费马大定理特殊情况最简单证明

请原谅我水平实在太低，无法看懂费马最后定理的证明过程，但可以挑战下最简单情况的证明容我细细道来。
首先说点题外话，对于高数上的费马定理进行证明，费马定理说如果f(x)在x=x0处可导且取得极值那么在这个点的导数f’(x0)=0

费马还有一个费马小定理，主要作用是求逆元。

费马小定理我就不以证明了，这涉及到一些数论知识。感兴趣的可以去了解下。对于素数其实就是质数，只可以被1以及本身整除的数，素数在数论以及密码学中有广泛作用对于费马小定理的变种还有

对于逆元可以举个例子

下面是费马小定理算逆元的例子

GF为伽罗华域也就是素数域，也是数论里的内容（伽罗华也译作伽罗瓦也是一位伟大的数学家，虽然只活了21岁但是却做出了很高的成就，关于伽罗瓦一个说法是投入了革命并爱上了一个女生的女儿后面为了这个女人与一名军官决斗，他知道自己是一位文弱书生必然不可能打得过一名军官于是在决斗前的那个晚上奋笔疾书将自己所研究的都写下来，所以手稿字迹潦草，于第二天决斗中身亡，死后人们注意到了他的手稿，肯定了他的成就。可谓是一个悲情的故事）下图为伽罗瓦

好了说了这些题外话是时候说回正题
我们来证明x的4次方加上y的4次方不等于z的4次方的情况由于z的4次方就等于一个数的平方的平方不妨证明

要证明这个我们首先要知道一些基本的数论的知识

当然还有一个数论知识是互素，互素的意思是假如有a,b两个正整数数。gcd(a,b)=1,学过C语言以及C++的同学们应该知道gcd是求最大公约数的意思，举个例子正整数17和15就是互素的因为它们没有公因子。那么就可以引入下一个数学知识

这些简单的数学知识我就不多解释了第三个定理很重要它是我们解决这个命题不可或缺的前提
如果一个数的4次方等于两个数的乘积且这两个数的最大公倍数是2，那么这个数可表示为两个数的乘积，第一个数可表示为2乘一个奇数的4次方第二个数可表示为8乘一个4次方的数且这里的两个数是互素的
说实话我也看晕了可能我文采不好那么我以数学符号表示让你们更加理解

这里的D,E互质
举一个举的比较多的例子拆解90的4次方，我这里啰嗦两句，大数的因式分解是非常困难的问题这正是RSA所基于的数学核心知识。

这里请一定要烂熟于心
好了有了这些数学知识我们的证明可以开始了(是不是觉得我很啰嗦我也这么觉得，请各位谅解，为了强行加字数嘻嘻嘻嘻)
首先我们令至少可找到一组x,y,z使x的4次方加y的4次方等于z的二次方成立且这里找到的x,y,z为最小的解，根据我们的假设那么x,y,z相互必定是互素的，如果x,y,z不互素那么必定会出现非平凡数，根据上述的只要有两个数有公因子，那么第三个数必定有这个因子可以找出比这组x,y,z更小的解与我们的假设矛盾所以x,y,z必定互素。

第二需要确定满足等式x,y,z分别是什么数(奇，偶)。

好了，准备好了吗前方高能，当然如果我写错了也请各位大佬提醒，毕竟这也只是小白的探索，谢谢大家的理解。

不瞒大家说我现在写完这个证明是非常激动的，有点血脉喷张的感觉。既然可以证出n=4的情况那么n=4的倍数的情况必然也不成立了，这是n为偶数的情况，当然还有n为奇数的情况这又是大数学家欧拉的杰作了。据说怀尔斯也用到了这些思想。如果大家能有耐心看完我也是很敬佩的，这实在是太枯燥了我想我能理解这些证明以大家的智商肯定是会懂的。

题外话-三千年一遇的一元二次方程解法

最近美国数学奥赛金牌教练罗博深教授提出了一种新的解决一元二次方程的解法被美国媒体炒上了天，我们来看看是不是真的可以被称为三千年一遇的方法。

这些大家应该都看得懂，其实三千年无人想的出的方法也是基于韦达定理，但确实只有罗博深教授想出来了而大多数人都是沿用公式法。

写在最后

这次的博客历时两天，看了一些资料才写成由于很仓促会有很多错误，也希望大佬们指正，本人也是在学习的过程中。看了这么多数学大神的故事不得不敬佩数学家的那种探索精神，正是由于欧拉，高斯，伯努利，阿贝尔，伽罗瓦，怀尔斯，拉格朗日，罗尔，柯西（这估计是困扰我大学数学的人们了）等等数学家的贡献人类文明才会有这么快的记录，在这里致敬他们。也希望自己可以好好学习，天天向上。