向前欧拉公式例题_欧拉方程的求解
1
欧拉方程的求解
1.
引言
在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定
理等等，让人敬佩跟羡慕
.
但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多
呢？他就是数学史上与阿基米德、
牛顿、
高斯齐名的
“四杰”
之一，
人称
“分
析学的化身”的盲人数学家欧拉(
Leonhard Euler,1707--1783
)
.
几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉
线”
、
“欧拉圆”
、
“欧拉公式”
、
“欧拉定理”
、
“欧拉函数”
、
“欧拉积分”
、
“欧
拉变换”
、
“欧拉常数”
欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用
表示
圆周率、
e
表示自然对数的底、
(
)
f
x
表示函数、
表示求和、
i
表示虚数单
位
以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧
拉方程”
.
在文献
[1]
中，
关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法
.
变量
变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，
然后再来求解
这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如
K
y
x
的解
，
进而求得欧
拉方程的解
.
但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难
.
本文在所学的欧拉方
程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方
程的求解给出了不同的定理
.
最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加
以说明
.
2.
几类欧拉方程的求解
定义
1
形状为
(
)
1
(
1)
1
1
0
n
n
n
n
n
n
y
a
x
y
a
xy
a
y
x
(
1
)
的方程称为欧拉方程
.
(其中
1
a
，
2
a
，
，
1
n
a
，
n
a
为常数)
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