高等数学：第二章 导数与微分（5）隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数
§2.6 隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
1、显函数的概念
函数
表示两个变量
和
之间的对应关系，其特点是：等号左端是因变量，而右端是含有自变量的表达式。用这种方式表示的函数叫做显函数。
2、隐函数的概念
在二元方程
中，当取区间
内的任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的值存在， 那末称方程 在区间内确定了一个隐函数。
例如，
在 
内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如，可将上述方程中的解出来，得
，将隐函数化成了显函数。
一般来说，将隐函数显化是有一定困难的，有时甚至是不可能的。
例如，二元方程 
，对于区间
内任意取定的值，上式成为一个以 为未知数的五次方程， 据代数理论，该方程至少有一个实根， 故方程在内确定了一个隐函数，但这个函数却很难显化出来。
例如，在
时，方程变为 
，可求得 
；
当
时，方程变为 
，若记
计算得到 
据零点定理，在(3，4)内有一零点，利用两分法可求得
。
既然二元方程可确定一个一元(隐)函数，隐函数导数又该如何求呢?
如果能将此隐函数显化，求导自然不成问题。如果隐函数不能显化，有没有直接地求导方法呢?
有的，下面用一个例子来介绍这一方法。
3、隐函数的直接求导法
左边的导数为
右边的导数为 
这两个导数应相等，于是有 
解出
，得 
【例2】求椭圆
在点
处的切线方程。
解：方程两边对求导数， 注意到是的隐函数， 有
， 
将
代入上式得：
切线方程为 
【例3】求由方程
所确定的隐函数的二阶导数
。
【解法1】
上式两边再对求导， 注意到仍是的函数， 有
= 
【解法2】对 两边关于求导， 注意到和
仍是的函数， 有
4、对数求导法
先对两边取对数，然后对方程两边关于求导，最后解出。
【例4】求
的导数。
解：
两边对求导， 注意到是的函数
【例5】求
的导数。
解：
二、由参数方程所确定的函数的导数
我们知道，函数
表示半径为1的上半圆周。若令
，则 
，故
参数方程 
也表示此半圆周。
反过来说， 此参数方程也确定了一个与之间的函数关系 。
一般地，参数方程 
确定了与之间的函数关系， 称此函数为由参数方程(1)所确定的函数。
如何求由参数方程(1)所确定的函数导数? 一个直接的方法是， 从(1)中消去参数
， 将(1)化成与之间的函数关系， 然后求其导数。 但是， 如果从(1)式中消去有困难， 需要寻求一种直接由参数方程(1)求的方法。
对于参数方程 
可以想象：由函数
求出其反函数
， 将此反函数代入
，得到了复合函数 
。
于是， 可运用复合函数与反函数求导法， 进行如下求导。
(2)
或 
(2)式便是我们希望寻找的求导公式，当然，它的成立是需要一些条件：
【1】函数有单调连续反函数；
【2】函数 、 可导， 且 
。
对(2)关于再求导，可得到二阶导数。只要求导时别忘了仍是的函数。
(3)
书上给出了这一公式，要准确而长久地记住它，并不容易。解题时，应少套这一公式，多摸仿这一公式的推导过程。
【例6】 求参数方程 
的二阶导数
。
解： 
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