Dsolve PDE基础
转自:完整教程https://reference.wolfram.com/language/tutorial/DSolveOverview.html
线性和拟线性偏微分方程
一阶偏微分方程通常可分为线性、拟线性或非线性. 本教程讨论前两种类型.
一个关于未知函数 
的一阶偏微分方程被称为是线性的，如果它能表示为如下形式：
如果一个偏微分方程能表示成如下形式，则称它为拟线性的：
一个既不是线性也不是拟线性的偏微分方程称为非线性的.
为方便起见，在本教程中使用符号 
、
和 
来表示未知函数及其偏导数.
下面是一个系数为常量的线性齐次一阶偏微分方程.
| In[1]:= |
✕ |
| In[2]:= |
|
| In[3]:= |
|
| In[4]:= |
|
该方程是线性的，因为左边是关于 
、
和 
的一个线性多项式. 由于每一项都有 
、
或者 
，该偏微分方程也是齐次的.
如前所述，该通解包含一个变量为 
的任意函数 C[1].
| In[5]:= |
|
| Out[5]= |
|
这里验证该解是正确的.
| In[6]:= |
|
| Out[6]= |
|
齐次偏微分方程的特解由指定函数 C[1] 获得.
| In[7]:= |
✕ |
| Out[7]= |
|
下面是该特解的表面图形.
| In[8]:= |
✕ |
| Out[8]= |
|
在下面的输运方程（transport equation）中，为方便起见使用 
.
| In[9]:= |
|
| Out[9]= |
|
请注意，该输运方程的解在平面上的任意形式为 
的直线上都是常量. 这些直线称为基础特征曲线（base characteristic curves）. 方程 
在三维空间定义了一个平面.这些平面与解表面（solution surface）的交集称为特征曲线（characteristic curves）. 由于特征曲线是一个常微分方程组的解，求解该偏微分方程的问题就简化为求解关于 
、
和 
的常微分方程组的问题，其中 
是沿着特征曲线的一个参数. 这些常微分方程被称为特征常微分方程（characteristic ODEs）.
一个非齐次偏微分方程的解有两个组成部分：齐次偏微分方程的通解和非齐次偏微分方程的特解.
这是一个一阶线性非齐次偏微分方程.
| In[10]:= |
|
该解的第一部分，
，是该非齐次偏微分方程的特解. 解的其余部分是齐次方程的通解.
| In[11]:= |
|
| Out[11]= |
|
下面是一个变系数线性齐次偏微分方程.
| In[12]:= |
|
| In[13]:= |
|
| Out[13]= |
|
这里对解进行验证.
| In[14]:= |
|
| Out[14]= |
|
下面是一个变系数线性非齐次偏微分方程.
| In[15]:= |
|
同样，该解由齐次偏微分方程的通解和非齐次偏微分方程的一个特解 Sin[x] 组成.
| In[16]:= |
|
| Out[16]= |
|
现在来考虑一阶拟线性偏微分方程的一些例子.
这个偏微分方程是拟线性的，因为有右边的项 
.
| In[17]:= |
|
| In[18]:= |
|
| Out[18]= |
|
这里验证该解.
| In[19]:= |
|
| Out[19]= |
|
它可以使用前面介绍的表示法写出.
| In[20]:= |
复制到剪切板 |
项使得该方程成为拟线性的.
这里求解该方程.
| In[21]:= |
|
| Out[21]= |
|
这里对 Burgers 方程的解进行验证.
| In[22]:= |
|
| In[23]:= |
|
| In[24]:= |
|
| Out[24]= |
|
拟线性的一个实际后果是解的震动、陡峭和断裂的外观. 因此，虽然求线性和拟线性偏微分方程的通解的过程很相似，在解的性质上有明显的不同.
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