概率论：方差、标准差、协方差、皮尔逊相关系数、线性相关

方差和标准差：

一个随机变量，的值的变化程度可以用方差计算：

；其中是期望。

另外一种等价表达式：

其中为均值，N为总体例数

我们举个例子：

服从均一分布，取值为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 ，每种值的概率是20%，可算出期望是0.3，那么方差就是：

标准差是方差的平方根，随机变量的标准差是

此处为了方便，计算方差和标准差时，分母是N，计算的是总体方差和总体标准差。（在实际应用中，因为样本是抽样样本，计算方差和标准差时，分母应是N-1，也就是说计算的是样本方差和样本标准差。）

协方差：

协方差可以用来衡量两个变量的线性相关性，并且可以化简到容易计算的形式（化简过程有问题可以找下证明或者举个例子亲自算一下）：

我们举第一个例子：

服从均一分布，取值为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 ，每种值的概率是20%，可算出期望是0.3，标准差是；

服从均一分布，取值为10000，20000，30000，40000，50000 ，每种值的概率是20%，可算出期望是30000，标准差是；

假设和线性相关，此时，那么取0.1取10000的概率为0.2，取0.1取20000、30000、40000、50000的概率都为0，以此类推。

和的协方差就是：

我们再举第二个例子：

把上个例子中的随机变量改变，随机变量不改变。

服从均一分布，取值为1，2，3，4，5 ，每种值的概率是20%，可算出期望是3，标准差是；

假设和线性相关，此时，那么取0.1取1的概率为0.2，取0.1取2、3、4、5的概率都为0，以此类推。

和的协方差就是：

两个例子对比一下，两个例子中的两个随机变量都是线性相关的，求出来的协方差都大于0，但是两个协方差的数值有较大差异，相差了10000倍。

皮尔逊相关系数：

皮尔逊相关系数是两个随机变量和的协方差与标准差之商：

我们可以计算上述两个例子里的皮尔逊相关系数：

第一个例子：

第二个例子：

皮尔逊相关系数都为1。

协方差、皮尔逊相关系数与线性相关

完全线性相关、线性相关、线性独立、完全独立：

如果变量可以用表示成，那么两个随机变量完全线性相关，否则不是完全线性相关。不是完全线性相关的两个变量有可能线性相关，有可能线性独立。如果两个变量有一定的线性关系，那么两个变量线性相关；如果和没有任何关系（完全独立）或者左右对称的线性关系可以抵消掉，那么两个变量线性独立。我们举一些例子。

完全线性相关的例子：

如果，点集如散点图所示，那么概率矩阵和计算协方差如下，协方差为4大于0（绿色部分值的加和），皮尔逊系数为1：

线性相关的例子：

如果，点集如散点图所示，那么概率矩阵和计算协方差如下，协方差为12大于0，皮尔逊系数为0.98：

线性独立的例子：

仍然是，取不同的数值再算一下，点集如散点图所示，协方差为0，皮尔逊系数为0，此时左右对称的线性关系可以抵消掉：

线性独立的另外一个例子，点集如散点图所示，此时和完全独立，协方差为0，皮尔逊系数为0：

通过上述例子可以看出，当两变量线性独立时，协方差一定等于0；当协方差等于0时，两变量也一定线性独立，但是并不代表两变量完全独立（完全独立的例子）。

下图是皮尔逊相关系数的一个图示便于理解：

总结

如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

协方差和皮尔逊相关系数都可以衡量两个随机变量的线性相关性（注意只是线性相关性），协方差受随机变量数值大小的影响，而皮尔逊相关系数不受随机变量数值大小的影响。所以两随机变量的协方差越大并不代表这两个变量越线性相关，而两随机变量的皮尔逊相关系数绝对值越大这两个变量越线性相关。

协方差的范围是；协方差<0时，线性负相关；协方差>0时，线性正相关；协方差=0时，线性独立。皮尔逊相关系数的范围是；当为-1时，完全线性负相关；当为1时，完全线性正相关；当>-1且<0时，线性负相关，绝对值越大越线性负相关；当>0且<1时，线性正相关，绝对值越大越线性正相关；当=0时，线性独立。