miller——rabin判断素数
我们首先看这样一个很简单的问题:判定正整数\(n\)是否为素数
最简单的做法就是枚举\(2\)到\(n\)的所有数,看是否有数是\(n\)的因数,时间复杂度\(O(n)\)
稍微优化一下发现只要枚举\(2\)到\(\sqrt{n}\)中的数就可以了
然后发现数据范围\(n\leq 10^{18}\),时间复杂度直接就死掉了QAQ
我们就要考虑新的方法了
首先引入两个定理
1、费马小定理
如果\(p\)是素数,且\(gcd(a,b)=1\),那么\(a^{p-1}\equiv 1(mod \ n)\)
证明什么的你随便找本数论书自己翻一下
注意它的逆定理不一定成立(或者说是它的逆定理在大多数情况下都成立)
2、二次探测定理(其实这也没有一个准确的名字)
如果\(p\)是奇素数,\(x<p\),且\(x^2\equiv1(mod\ p)\),那么\(x=1\)或\(xp=-1\)
证明:由同余式知\(x^2-1\equiv0(mod\ p)\),即\(p|(x+1)(x-1)\)
又由\(p\)是素数知\(p|x-1\)或\(p|x+1\),解得\(x=1\)或\(x=p-1\)
诶等等zzr没事给证明干嘛?zzr不是最讨厌证明了吗
由上面很简单的证明过程我们可以发现,\(x=1\)和\(x=p-1\)这两个解其实是对所有的\(p\)都成立的
即无论\(p\)取什么值\(x\)取上面两个值是一定可以的
但是当\(p\)是一个合数的时候,此时原同余方程的解\(x\)就不只上面这两个了,而是会有多个
换一句话说:如果上面的\(x\)取到了1和\(p-1\)以外的数,就说明\(p\)不是一个素数了
我们主要利用上面两个性质来进行素数判定
1、取\(2^q*m=n-1\)(\(q,m\)均为正整数且\(m\)为奇数),同时任意取小于\(n\)的正整数\(a\)
2、求出\(a^{n-1}\text%n\),如果这个值不为1那么\(n\)一定是合数(利用费马小定理)
3、遍历\(i\),使得\(1\leq i \leq q\),如果\(2^i*m\text%n=1\)并且\(a^{i-1}*m\text%n!=1或n-1\),那么由二次探测定理就知道原同余方程出现一个特殊解,说明\(n\)不是一个素数
上面的方法有一个小问题:由于费马小定理的逆定理不一定成立(在大多数情况下成立),因此有时我们会对\(n\)进行误判,具体的,每做一次发生误判的概率是\(\frac{1}{4}\)
解决的方法在上面的解法中也有体现:换用不同的\(a\),多进行几次即可
好了上面就是完整的miller-rabin测试了
一道例题:poj3518Prime Gap
题意:两个相邻的素数的差值叫做Prime Gap。输入一个K,求K两端的素数之差,如果K本身是一个素数,输出0;
分析:其实数据很小你直接筛一下也可以
或者你直接暴力寻找当前这个数相邻的数是否是质数,两端分别记录第一次找到的质数即可
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define int long long
int n;int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}return x*f;
}int mul(int x,int y,int n)
{ x%=n;y%=n;int ans=0,sum=x;while (y){int tmp=y%2;y/=2;if (tmp) ans=(ans+sum)%n;sum=(sum+sum)%n;}return ans;
}int qpow(int x,int y,int n)
{int ans=1,sum=x;while (y){int tmp=y%2;y/=2;if (tmp) ans=mul(ans,sum,n);sum=mul(sum,sum,n);}return ans;
}bool prime(int m,int q,int a,int n)
{int now=qpow(a,m,n);if ((now==1) || (now==n-1)) return 1;int i;for (i=1;i<=q;i++){int x=mul(now,now,n);if ((x==1) && (now!=1) && (now!=n-1)) return 0;now=x;}if (now!=1) return 0;//其实这里是将费马小定理的检测放在了最后,省去再做一次快速幂return 1;
}bool miller_rabin(int x)
{if (x==2) return 1;if ((x<2) || (x%2==0)) return 0;int num=x-1,tim=0;while ((num) && (num%2==0)) {num/=2;tim++;}//cout << num << " " <<tim << endl;int i;for (i=1;i<=10;i++)//一般都会进行20次左右,不过数据范围小对吧2333{int a=rand()%(x-1)+1;if (!prime(num,tim,a,x)) return 0;}return 1;
}void work()
{if (miller_rabin(n)) {printf("0\n");return;}//cout <<1;int l=n-1,r=n+1;while (!miller_rabin(l)) l--;while (!miller_rabin(r)) r++;printf("%d\n",r-l);
}signed main()
{n=read();while (n){work();n=read();}return 0;
}
转载于:https://www.cnblogs.com/encodetalker/p/9976285.html
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