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我先对控制系统的数学模型进行简单的阐述，控制系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

数学模型分为两种：静态和动态

建立数学模型的方法：

①实验法：人为给系统施加某种测试信号，记录输出相应，然后用适当的数学模型去逼近，这又称为系统辨识

②解析法：根据系统各部分的运动机理进行分析，根据已有的物理规律和化学规律列写相应的运动方程

不同域内所使用的数学模型：

①时域中常使用的数学模型：微分方程、差分方程、状态方程

②复域中常用的数学模型：传递函数、结构图

③频域中常用的数学模型：频率特性

2.1控制系统的时域数学模型

一个控制系统无论结构多么简单或者复杂，用解析法建立系统或元部件微分方程通常遵循以下步骤：

1. 分析系统运动的因果关系，确定系统或元部件的输入、输出以及中间变量，搞清各变量之间的关系
2. 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）规律，列写出各个原件的动态方程，列写的方程数目应该与所设的变量（除输入量）数目相同
3. 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程
4. 将微分方程标准化，即把输入有关的各项放在等号右边、输出有关的放在等号左边，并且按照降幂排序

其实这一部分内容最主要和那些专业学科相关，那些数学方程的建立，比如说我们要建立一个电枢控制直流电动机的一个数学方程，那这个数学方程在电机学里面就会提到怎么去推导和列写

小结：微分方程是时域描述系统动态性能的数学模型，但是系统的数学模型越精确，微分方程的阶次越高，并且如果系统参数或者结构发生变化，就要重新列写并求解微分方程，不利于系统的分析与设计

2.2控制系统的复域数学模型

在复域中，最重要的是传递函数这一个数学模型，传递函数是基于拉氏变换的复数域数学模型，它的特点有：

①复数域输入输出关系的数学模型

②仅用于线性定常系统，也表征系统的动态特征（所谓定常就是其系数不随时间变化而变化）

③当系统参数、结构发生变化时，不必重新建立数学模型

1、传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出信号c(t)的拉氏变换C(s)与输入信号r(t)的拉氏变换R(s)之比，记为G(s)

即G(s)=

注：传递函数是在零初始条件下定义的，其有两个含义：

①指输入作用，即在t=0之后才作用于系统，因此t≤0时系统输入量及其各阶导数为0

②输入作用于系统之前，系统是相对静止的，就是系统的输出量及其各阶导数在t≤0时 也为0。

2、传递函数的性质

（1）传递函数是复变量S的有理真分式，分子多项式M(s)和分母多项式N(s)的各项系数均为实数，因此具有复变函数的所有性质，因为实际物理系统总是存在惯性，并且能源功率有限，使得传递函数的分母阶次n总是大于或者等于分子阶次m，（即n≥m）

（这个好难理解啊，我也不太明白为什么分母阶次要大于分子阶次）

（2）传递函数只取决于系统的结构和参数，与外界作用无关

（3）传递函数是描述系统动态特征的数学表达式，与微分方程一一对应，当确定了系统的时域数学模型后—微分方程后，复域内的传递函数就可以唯一确定了

（4）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应，其实就是G(s)=C(S)/R(S)=C(S)（因为r(t)=δ(t)的拉氏变换为R(S)=1）

G(S)也可以写成G(S)=

其中z1、z2.…zm是分子M（s）的根，成为传递函数的零点

P1、p2……pn是分母N（s）的根，称为传递函数的极点

3、典型环节的传递函数

按照传递函数形式来分类的元部件称为环节，而组成可控制系统并具有代表性的基本环节称为典型环节。

（1）比例环节：输出量等于输入量乘以比例系数

G(s)=

（2）惯性环节：因有储能原件，所以对突变的输入信号不能立即出现

T

（3）积分环节:又称无差环节

微分方程为：T

（4）微分环节：

微分方程：c(t) =

（5）振荡环节

微分方程：

传递函数形式：G(s)=

其中wn=1/T 称为无阻尼振荡频率，ζ 为阻尼比

（6）滞后环节：又称延迟环节

微分方程c(t)=r(t-τ) τ为滞后时间 传递函数 G(s)=

2.3系统的结构图

1、结构图的组成

①信号线 ②引出点 ③比较点 ④函数方框

（引出点是没有顺序的，可以理解成在一条干路上引出两个支路，其代表的数值都是相同的，而比较点是表示那两个信号在此处相加或者相减）

2、而这个部分最重要的是结构图的等效替换

（1）串联环节的等效替换

（2）并联环节的等效替换

（3）反馈连接方框的等效变换

“+”表示反馈与输入量极性相同，正反馈连接；

“-”表示反馈与输入量极性相反，负反馈连接。

（4）比较点移动

①比较点后移：

移动前：C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]

移动后：C(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)

②比较点前移：

移动前：C(s)=G(s)R(s)-B(s)

移动后：C(S)=G(S)[R(S)-

注意：比较点是可以交换或者合并相加点

原来的：

交换后：

合并：

（5）引出点移动

①引出点后移：

移动前：C (s)=G(s)R(s) ，R(s)=R(s)

移动后：C (s)=G(s)R(s），R(S)= R(S)G(S)

②引出点前移

移动前：C1(s)=G(s)R(s) ，C2(s)=G(s)R(s)

移动后： C1(s)=G(s)R(s）C2(s)=G(s)R(s)

小总结：

1. 三种典型结构可直接用公式
2. 相邻比较点可互换位置、可合并
3. 相邻引出点可互换位置、可合并
4. 引出点比较点相邻，不可互换位置

2.4控制系统的信号流图

信号流图符号更加简单，并且可以通过梅森公式直接求得系统的传递函数

信号流图的组成

①信号流图由节点、支路和支路增益三种基本图形符号组成

②节点：用符号“O”表示，节点表示系统中的一个信号

③支路：用符号“

”表示，支路是连接两个节点的有向线段，箭头表示信号的传递方向

1. 支路增益：用标在支路旁边的传递函数G(S)表示支路增益，定量地描述出信号从支路一端沿箭头方向传送到另外一端的函数关系，相当于结构图中环节的传递函数。

2、信号流图的绘制

先讲讲引出点和比较点在相邻时的处理方法：

①若引出点在比较点后面，则在比较点之后设置一个节点就可以代表两个点

②若引出点在比较点前面，则要在比较点和引出点处各设一个节点，分别表示两个变量，两个节点之间的增益是1.

3、梅森增益公式

G(S)=

△称为特征式，△=1-

（这是书本的形式，但是我觉得不容易记忆，下面的这种形式应该更加容易记忆：

△=1+

n: 从输入节点到输出节点前向通路的条数（意思是有多少条路可以去到输出点）

Pk：从输入节点到输出节点之间第k条前向通路的总增益

△K：第k条前向通路的余子式，即把特征式△中与该前向通路相接触回路的回路增益置零之后余下的部分（这里的相接触，就算只是节点接触，也算的喔）

4、闭环系统的传递函数

图中，R(S)表示输入信号，N(S)表示干扰信号，

C(S)表示系统的输出，E(S)表示误差信号

在处理这个模型中，我们可以把R(S)与N(S)看做系统的两个输入，而把E(S)和C(S)看做系统的两个输出，那么当两个输入量同时作用这个线性系统的时候，我们可以使用叠加原理，来求出C(S)

（1）系统的开环传递函数

首先说明一下，H(S)所处的那条通路，就是反馈通路，在求开环传递函数的时候，我们需要人为地切断主反馈通路，然后把前向通路传递函数和反馈通路的传递函数相乘，就得到系统的开环传递函数，用G(S)H(S)表示，其等于系统的反馈信号B(S)比上偏差信号E(S)

G(S)H(S)=

注：这里的开环是相对于闭环系统而言的，而不是指开环系统的传递函数

（2）系统的闭环传递函数

①当只研究系统控制输入C(s)时，令N(S)=0，则可以求出C(S)对输入R(S)的闭环传递函数为

Φ(S)=

②当只研究扰动输入N(s)作用时候，令R(S)=0，则可以求输出对扰动作用的传递函数

Φn(s)=

所以当求系统的总输出时，根据线性叠加原理，可以

C(s)= Φ(S)R(S)+ Φn(s)N(S)

（2）闭环系统的误差传递函数

令N(S)＝0，则求得系统的误差传递函数为

Φe=

令R(S)=0，则求得误差对扰动作用的闭环传递函数为（简称扰动误差传递函数）

Φen=

所以根据叠加性原理，总的误差为

E(S)= ΦeR(S)+ ΦenN(S)

不过其实不用记忆，下面介绍如何理解有扰动的闭环系统的传递函数和误差传递函数

注意：一定要明确好这些概念（即各种传递函数的定义），因为有一些题目不会给结构图，如果用信号流图的话，则使用梅森增益公式求的时候，便要用定义来求。

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大家可以评论相关自动控制的问题，我也会耐心给你们解答的(#^.^#)

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下面放两道题目吧

用结构图等效变化简法求C(S)/R(S)

用梅森增益公式求C(S)/R(S)