一阶系统开环传递函数表达式_机械振动理论(2)-多自由度系统

将单自由度系统引出的概念加以拓展，从系统极点来定义固有频率和阻尼因子。系统极点是由传递函数的分母决定的，一旦知道了系统极点，传递函数便可以表示成部分分式形式，这表示多自由度线性系统的传递函数是多个单自由度系统传递函数的线性组合。

系统方程传递函数

大多数情况下，所研究的系统不能视为单自由度系统，因为它们都是由无穷多个质量、刚度和阻尼构成的连续组合体^[1]。

对于多自由度系统，可以将描述单自由度系统的简单的力平衡方程演化成形式相似的一个方程组，以二自由度为例：

该系统的动力学微分方程组如下：

写成矩阵形式为：

或者：

其中，

和

分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、力向量和响应向量。

上述方程亦可描述自由度更多的系统特性，只不过矩阵维数相应增多而已。把这个时间域的矩阵变换到拉氏域（复变量为

），并且假设初始位移和初始速度都为零，则有：

或者

式中

为

动刚度矩阵。

由此也可以得到传递函数

的定义：

按照线性代数理论，一个矩阵的逆矩阵可以由其伴随矩阵计算出来：

传递函数矩阵是复值函数矩阵。

系统极点、固有频率、阻尼因子

传递函数

的分母，即

的行列式，又叫做系统的

特征方程。与单自由度情况一样，系统的特征方程的根，即系统极点，决定系统的共振频率。根据特征值问题，可以求出系统特征方程的根，为了把系统方程转化为一般特征值问题，引入下面的恒等式^[2]：

将此式与原动力学方程相结合，得：

其中，

如果力函数等于零，式就成了关于实值矩阵的一般特征值问题，其特征值就是满足下列方程的

的值：

仔细研究一下该方程即可知道，它的根就是上面提到的特征方程

的根，对于

自由度的系统，此方程有

个呈复共轭出现的特征根（为了先不涉及较为复杂的模态分析，所以将复模态分析的详细推导过程放到了机械振动理论(5)-解析复模态分析中）：

与单自由度系统一样，极点的实部

是阻尼因子，虚部

是固有频率。

模态向量、留数

特征方程的特征值对应着一组特征向量。对于多自由度系统，由这些特征向量可以引出模态振型向量（也叫模态位移向量、模态向量）

的概念，这些

列向量也呈复共轭对出现，由上面的

矩阵可知：

对于含有复值模态位移的模态向量，其元素的相位不尽相同。在对应的极点

上，这些向量（因为是特征向量）使得系统方程中的力向量

为零，即：

与单自由度相仿，引入留数的概念，因为

和

是系统特征方程

的根，所以将传递函数重写如下：

其中，

为常数：

将上式展开为部分分式：

上式中的

和

项叫做

留数，根据留数定理，这些留数等于：

留数与模态振型之间的关系

将重写后的传递函数代入到留数中，得：

或者：

其中，

是一个

与极点有关的常数。

因此，传递函数可以写成：

仔细观察

这一项，就会明白

传递函数矩阵

与模态向量

之间的关系。

现在引入另一个等式，由于有以下关系成立：

就

，计算上式，因为

是特征方程的一个根，有

，所以有：

考虑

的

任一列，比如第

列，则有：

此式正好可以看做是表示特征向量

的齐次方程。

因此，

与

这两个向量是成比例的，都是特征值

对应的特征向量。

对于

的无论哪个列向量，情况都是如此。由于

的所有列向量都互相成比例，所以矩阵

的秩等于1，这也意味着该矩阵的所有行亦成比例。因此，就

，计算出来的这个伴随矩阵满足下列条件：

此处，

仅代表一个常数而已。

因为遵循Maxwell互易性原理，系统的质量、刚度、阻尼都是对称的。

所以动刚度矩阵及其伴随矩阵也都是对称的，所以

的各行也均与第

阶模态向量成比例：

其中，

是与

归一化方式有关的一个常数，上注脚

表示转置。

将此式代入传递函数，并记

，则得：

与前面提到的传递函数的留数形式作对比：

可知各个留数矩阵为：

因此留数矩阵

的各列互相成比例，任意一列（如第

列）都包含有足够多的信息来构成该矩阵，除非这一列碰巧含有一个等于零的模态系数，此时相应的行与列将等于零。

在实践上这意味着，若将激励点选择在某一阶模态的一个节点上，那么这一阶模态就不能被检测出来。正确选择激励点可以避免这一问题。

留数矩阵是绝对量，而模态向量可以按照不同归一化方法比例换算因子进行换算。

而对自由度系统的频响函数可以解释为各个模态对应的单自由度响应分量之和，其中每个分量都等效于一个单自由度系统的响应^[3]。

模态叠加

频响函数可以用几种方法表示：以响应的实部、虚部作为频率函数的实频、虚频图；以响应的幅值（有时以对数刻度）和相位作为频率函数的幅频、相频图和以频率作为参变量的实部对虚部的曲线图（奈奎斯特图）等。

实频、虚频图

幅频、相频图

奈奎斯特图

参考

^沃德·海伦, 斯蒂芬·拉门兹, 波尔·萨斯模态分析理论与试验, 北京理工大学出版社, 2001
^曹树谦. 振动结构模态分析理论、实验与应用, 天津大学出版社, 2000.
^Y. Altintas, Manufacturing Automation: Metal Cutting Mechanics, Machine Tool Vibrations, and CNC Design, 2012.