控制工程实践（2）——拉普拉斯变换及传递函数（之拉氏变换）

拉普拉斯变换和传递函数，是控制工程的最基础理论。

1.拉普拉斯变换

回想一下高数中的傅里叶级数分解，若满足狄利克雷条件，则有：

信号分解后，对每个三角级数分项，都存在着相应的频率（）和频率相关的幅值( )、相位( )。如果我们只研究每个分项的频率、幅值和相位，同样也能还原出信号的时域形式。也就是说，对于从时域t的角度和频域的角度分析信号，其结果是等价的。只是时域分析的是信号针对时间t的数学解析式，频域分析的是信号针对频率的幅值、相位。

对于周期信号，傅里叶分解后的频率是离散的，而对于非周期信号，分解后的频率是连续的，但二者理解的思路是一样的。

信号的两种表达形式：时域输入信号f(t)，频域输入信号F(s)。

拉氏变换公式（为更直观理解，也可以称为镜像公式）：

符号记作

通过这个镜像公式，就将时域信号f(t)与频域信号F(s)对应了起来。

在时域，自变量为时间t；在频域，自变量为频域复数s=σ+jω 。拉氏变换公式可以写成

对于满足狄利克雷条件的信号（自然界中的信号一般都满足），不需要用到衰减因子σ ，如果令s=jω ，则拉氏变换成了其一种特殊情况——傅里叶变换：

我们控制工程中用到的其实就是拉氏变换的特殊形式——傅里叶变换。

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