【NLP】揭秘马尔可夫模型神秘面纱系列文章（二）

马尔可夫个人简介

安德烈·马尔可夫，俄罗斯人，物理-数学博士，圣彼得堡科学院院士，彼得堡数学学派的代表人物，以数论和概率论方面的工作著称，他的主要著作有《概率演算》等。1878年，荣获金质奖章，1905年被授予功勋教授称号。马尔可夫是彼得堡数学学派的代表人物。以数论和概率论方面的工作著称。他的主要著作有《概率演算》等。在数论方面，他研究了连分数和二次不定式理论，解决了许多难题。在概率论中，他发展了矩阵法，扩大了大数律和中心极限定理的应用范围。马尔可夫最重要的工作是在1906～1912年间，提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式——马尔可夫链。同时开创了对一种无后效性的随机过程——马尔可夫过程的研究。马尔可夫经多次观察试验发现，一个系统的状态转换过程中第n次转换获得的状态常取决于前一次（第（n-1）次）试验的结果。马尔可夫进行深入研究后指出：对于一个系统，由一个状态转至另一个状态的转换过程中，存在着转移概率，并且这种转移概率可以依据其紧接的前一种状态推算出来，与该系统的原始状态和此次转移前的马尔可夫过程无关。马尔可夫链理论与方法在现代已经被广泛应用于自然科学、工程技术和公用事业中。

1 引言

当需要计算现实世界上可以直接观察到的时间序列的概率时，（如上面天气事件），马尔可夫链很有用。但是，当我们处理的事件是现实世界不能观察到的，而是隐含在观察背后，诸如词类标注（根据具体的一个个的词，我们实现看到的词的序列去标注出正确的词类，此事词类的标注是隐藏的）、语音识别（声学事件下，推断出隐藏在其背后的单词）等。类似这样的事件马尔可夫链是不能直接解决的，此处隐马尔可夫模型便派到用场。

隐马尔科夫模型：由被观察到的事件（如：此类标记时我们输入中看到的词序列），又涉及到隐藏事件（对词的标注），这些隐藏事件在概率模型中被我们认为是引导因素。

2 隐马尔可夫模型

2.1 爱依斯讷（Jason Eisner）对隐马尔可夫模型的描述

隐马尔可夫模型在现实问题中应用：

隐马尔可夫模型在现实事件中的使用，假设从2016年之后的一千年（3016年），我们想了解2016年某段时间中国*成都天气状况（假设简单的热冷表示即H|C），恰巧又没有2016年成都天气关于热冷的记录，唯一的线索便是小明日记本中夏天的一段记录，记录的是每天小明吃冰淇淋的数量（观察状态），我们可以利用隐马尔可夫模型根据小明夏天吃冰淇淋数量的记录推断中国成都天气（热=0.8|冷=0.2，即隐含状态），究竟该如何做？

（1）具有初始状态和终结状态的隐马尔科夫链描述如下：

（2）没有初始状态和终结状态的隐马尔科夫链描述如下：

（3）一阶隐马尔可夫的两个假设

2.2 拉宾纳（Rabiner）对隐马尔可夫模型思想的三个问题

问题1（似然度问题）：给一个HMM λ=（A,B）和一个观察序列O，确定观察序列的似然度问题 P(O|λ) 。

问题2（解码问题）：给定一个观察序列O和一个HMM λ=（A,B），找出最好的隐藏状态序列Q。

问题3（学习问题）：给定一个观察序列O和一个HMM中的状态集合，自动学习HMM的参数A和B。

如上的冰淇淋事件是典型的问题1，似然度问题，对应向前算法解决。词类标注是典型问题2解码问题，对应维特比算法解决。问题3是机器学习问题，对应向前向后算法解决。此三个问题稍后篇章会一一介绍。

3 案例解析隐马尔可夫模型

下图描述小明吃冰淇淋的数量（观察值）与天气热冷情况（隐藏值H或C）之间的隐马尔可夫模型

其中hot1的转移概率是：

P（1|hot）=0.2 夏天某天天气热吃1根冰淇淋的概率

P（2|hot）=0.4 夏天某天天气热吃2根冰淇淋的概率

P（3|hot）=0.4 夏天某天天气热吃3根冰淇淋的概率

其中cold2的转移概率是：

P（1|hot）=0.5 夏天某天天气冷吃1根冰淇淋的概率

P（1|hot）=0.4 夏天某天天气冷吃2根冰淇淋的概率

P（1|hot）=0.1 夏天某天天气冷吃3根冰淇淋的概率

其中观察值（吃的数量）：

O={1,2,3}

隐藏值（天气的状态）：

S={H,C}

全连通HMM：任何两个状态之间的转移一个非零概率。

非全连通HMM：从左到右的单向序列，如对语音进程建模。

通过小明吃冰淇淋的观察值推断天气状态的问题，留着下节采用隐含马尔可夫模型解决。此处采用一个短小简明的例子，旨在让读者明白原理，后续会拿到现实应用中深入讲解。

4 参考文献

【1】统计自然语言处理基础 Christopher.Manning等著宛春法等译

【2】自然语言处理简明教程冯志伟著

【3】数学之美吴军著

【4】Viterbi算法分析文章王亚强