5.3几何解释

对偶函数的解释
上境图

对偶函数的解释

简单考虑只有一个不等式约束 $f_1(x)\leq 0$

定义

$G =\left \{ (f_1(x),f_0(x))|x\in D \right \}$

已知对偶函数：

$g(\lambda )=\underset{(u,t)\in G}{inf}(t+\lambda u)=\underset{(u,t)\in G}{inf}(\lambda ,1)^T(u,t)$

所有对偶函数相当于在G上极小化 $(\lambda ,1)^T(u,t)$ ，得到斜率为 $-\lambda$ 的支撑超平面。

下图，t表示 $f_0(x)$ ，u表示约束函数值 $f_1(x)$

原优化问题在于在约束条件下找到最小的t，G为约束函数值和目标函数值的所有取值的集合，约束函数为 $u\leq 0$ ，即在坐标轴左侧找最小的t，故找到最优解 $p^*$ （如上图）。

上图三条直线则表示三个 $\lambda$ 对应的支撑超平面，与t轴的交点是 $g(\lambda)$ 的取值。

上境图形式

$A =\left\{ (u,t)|\exists x \in D,f_1(x) \leq u,f_0(x) \leq t\right \}$

可以将A理解为G的上境图形式，包含了G中所有的点，以及一些较坏的点。

强对偶性成立，当且仅当存在某些对偶可行变量，使得 $P^*=d^*$ ，即对于集合A，存在一个在边界点 $(0,0,p^*)$ 处有非竖直的支撑超平面。

对于凸问题，A显然也是凸集，对于任意的凸集，其边界点处均有支撑超平面。所以对大部分凸问题，强对偶性总是成立。

$\lambda$

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