凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数
3.5 对数-凹函数和对数-凸函数
- 定义
- 相关性质
定义
称函数对数凹，如果
是凹函数。
称函数对数凸，如果
是凸函数。
函数f是对数凸的当且仅当1/f是对数凹的。
当时，
，相当于对log(f)进行扩展值延伸，此时，如果扩展值函数log(f)是凹函数，则f是对数凹的。
函数，其定义域时凸集，且
，函数是对数凹的当且仅当
特别的，当时，上式
即对数凹函数在两点之间中间的函数值不小于这两点的函数值的几何平均值。
根据函数复合规则，可以得出：对数凸函数是凸函数，非负凹函数是对数凹函数。
由于对数函数是单调递增的，所以对数凸函数也是拟凸函数，对数凹函数是拟凹函数。
相关性质
二次可微的对数凸、凹函数
设函数f二次可微，其中dom(f)是凸集，log(f(x))
函数f是对数凸函数，当且仅当；
同样，函数f是对数凹函数，当且仅当。
乘积、和以及积分运算
（1）对数凸性以及对数凹性对乘积以及正的伸缩运算是封闭的，即对数凸函数的乘积，或时的af(x)仍为对数凸函数。
证明：已知和
为对数凸函数，
则：
而和
都是凸函数，那么
也是凸函数，即
为对数凸函数。
（2）对数凹函数的和一般不是对数凹函数。
（3）对数凸函数的和是对数凸函数。
证明：已知和
为对数凸函数，即
和
是凸函数。
则根据凸函数的复合规则有：是凸函数。
因此两个对数凸函数的和仍然是对数凸函数。
（4）是x的对数凸函数，则函数
是对数凸函数。
对数凹函数的积分
特殊情况下对数凹函数的性质在积分后仍然保留。
如果是对数凹函数，则
在
上是x的对数凹函数。
对数凹函数的性质对卷积运算是封闭的。如果函数f和g在上是对数凹的，则他们的卷积
仍然是对数凹函数。
设是凸集，
是
上的随机变量，设其具有对数凹的概率密度函数p，则函数
，表示x受随机变量w的影响后还属于C集合的概率，函数f(x)是对数凹函数。
证明：
将f表述为,
根据对数凹函数的条件：
可知g(u)是对数凹函数，故根据对数凹函数的积分仍是对数凹函数这一性质，可知f(x)是对数凹函数。
来源：https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86557497
凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数相关推荐
- 凸优化第三章凸函数 3.1基本性质和例子
3.1基本性质和例子 定义 扩展值延伸 一阶条件 二阶条件 例子 下水平集 上境图 Jensen不等式及其扩展 不等式 定义 函数f是凸函数,当f的定义域S是凸集,且 严格凸函数: 从几何上来看,如下 ...
- 凸优化第三章凸函数 3.3 共轭函数
3.3 共轭函数 定义 基本性质 定义 设函数,定义函数为: 此函数称为f(x)的共轭函数.从3.2节逐点上确界的内容也可以看出,此函数也是的逐点上确界函数,而是关于y的仿射函数,可以将其看成是凸函数 ...
- 凸优化第三章凸函数 3.3共轭函数
3.3共轭函数 定义 基本性质 定义 设函数,定义函数为: 此函数称为f(x)的共轭函数.从3.2节逐点上确界的内容也可以看出,此函数也是的逐点上确界函数,而是关于y的仿射函数,可以将其看成是凸函数, ...
- 凸优化 matlab-cvx-第十一章ADVANCED TOPICS
注意:在本节中,我们描述了CVX的一些更高级的功能.我们建议你先跳过这一节,直到你对上面描述的基本能力感到满意为止. 11.1消除二次型 我们强烈建议的一个特殊的改写是消除二次型- -即像sum _ ...
- 凸优化第四章凸优化问题 4.2凸优化
4.2凸优化 标准形式的凸优化问题 局部最优解与全局最优解 可微函数的最优性准则 等价的凸问题 拟凸优化 标准形式的凸优化问题 是凸函数,等式约束是仿射函数.则此优化问题是凸优化问题. 也可以写成 重 ...
- 凸优化第五章对偶 5.1 Lagrange对偶函数
5.1 Lagrange对偶函数 Lagrange Lagrange对偶函数 最优值的下界 例子 Lagrange对偶函数和共轭函数 Lagrange 标准形式的优化问题: 其中,问题的定义域,注意这 ...
- 凸优化第五章对偶 5.1Lagrange对偶函数
5.1Lagrange对偶函数 Lagrange Lagrange对偶函数 最优值的下界 例子 Lagrange对偶函数和共轭函数 Lagrange 标准形式的优化问题: 其中,问题的定义域,注意这里 ...
- linux 优化内存分配,Linux性能优化 第三章 性能工具：系统内存
3.1内存性能统计信息 3.1.1内存子系统和性能 和CPU相比,内存的读写速度都大大落后于CPU.为了弥补这个差距,通常CPU会采用高速缓存的机制(高cache). 3.1.2内存子系统(虚拟存储器 ...
- 凸集 凸函数 凸优化
目录 写在前面 精简版概念理解 凸集 凸集的性质 凸函数 凸函数性质 凸优化 为什么要求是凸集呢? 为什么要求是凸函数呢? 判断是否为凸函数的简单办法 为什么区分凸优化和非凸优化 非凸优化问题如何转为 ...
最新文章
- Install matplotlib Error: src/ft2font.h:16:22: fatal error: ft2build.h: No such file or directory
- tkinter 笔记：列表部件 listbox （莫烦python 笔记）
- ubuntu18.10 cosmic更换阿里云的源
- 使用 yo 命令行向导创建 SAP UI5 应用
- 青岛计算机类职业中学,青岛最好的职业学校有哪些？
- Cast-128 加密算法和 MyPassWord 的破解
- python差分进化算法_差分进化算法(differential evolution)的Python实现
- js实现一键复制到剪切板上_js实现各种复制到剪贴板的方法(分享)
- 语句覆盖、条件覆盖、判定覆盖、条件-判定覆盖、路径覆盖
- Mysql explain 执行计划 解释
- 每日启程——2019年12月10日（敏不有初，鲜克以终）
- vue前端(element-ui)，express后端实现上传图片到七牛云
- 2022年前端面试题整理，持续更新中
- 北京中医药大学远程教育 计算机基础考试,北京中医药大学远程教育计算机基础(2008版)-第4次...
- 如何使用谷歌浏览器把网页保存为PNG图片
- 【AP】Robust multi-period portfolio selection(3)
- 搓丝机传动装置设计F=10KN【机械设计基础课程设计说明书+7张CAD图纸】
- T100 genero report (GR) 凭证报表开发流程
- 台式计算机后面的端口示意图,如何识别戴尔台式 PC 上的集成视频端口
- 如何在Excel中使用SQL语言？