拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件是求解约束优化问题的重要方法，在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等约束时使用KKT条件。前提是：只有当目标函数为凸函数时，使用这两种方法才保证求得的是最优解。

对于无约束最优化问题，有很多经典的求解方法，参见无约束最优化方法。

拉格朗日乘子法

先来看拉格朗日乘子法是什么，再讲为什么。

minf(x)s.t.hi(x)=0i=1,2...,n

这个问题转换为

其中λi≠0，称为拉格朗日乘子。

下面看一下wikipedia上是如何解释拉格朗日乘子法的合理性的。

现有一个二维的优化问题：

minf(x,y)s.t.g(x,y)=c

我们可以画图来辅助思考。

绿线标出的是约束g(x,y)=c的点的轨迹。蓝线是f(x,y)的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。

从图上可以直观地看到在最优解处，f和g的斜率平行。

▽[f(x,y)+λ(g(x,y)−1)]=0λ≠0

一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。

F(x,y)=f(x,y)+λ(g(x,y)−c)

新方程F(x,y)在达到极值时与f(x,y)相等，因为F(x,y)达到极值时g(x,y)−c总等于零。

(1)取得极小值时其导数为0，即▽f(x)+▽∑ni=1λihi(x)=0，也就是说f(x)和h(x)的梯度共线。

KKT条件

先看KKT条件是什么，再讲为什么。

letL(x,μ)=f(x)+∑qk=1μkgk(x)

其中μk≥0,gk(x)≤0

∵μk≥0gk(x)≤0}=>μg(x)≤0

∴

∴

maxμminxL(x,μ)=maxμ[minxf(x)+minxμg(x)]=maxμminxf(x)+maxμminxμg(x)=minxf(x)+maxμminxμg(x)

又∵μk≥0gk(x)≤0}=>minxμg(x)={0−∞ifμ=0org(x)=0ifμ>0andg(x)<0

∴maxμminxμg(x)=0此时μ=0org(x)=0

此时μ=0org(x)=0

联合(3),(4)我们得到minxmaxμL(x,μ)=maxμminxL(x,μ)

亦即L(x,μ)=f(x)+∑qk=1μkgk(x)μk≥0gk(x)≤0⎫⎭⎬⎪⎪=>minxmaxμL(x,μ)=maxμminxL(x,μ)=minxf(x)

我们把maxμminxL(x,μ)称为原问题minxmaxμL(x,μ)的对偶问题，上式表明当满足一定条件时原问题、对偶的解、以及minxf(x)是相同的，且在最优解x∗处μ=0org(x∗)=0。把x∗代入(2)得maxμL(x∗,μ)=f(x∗)，由(4)得maxμminxL(x,μ)=f(x∗)，所以L(x∗,μ)=minxL(x,μ)，这说明x∗也是L(x,μ)的极值点，即∂L(x,μ)∂x|x=x∗=0。

最后总结一下：

L(x,μ)=f(x)+∑qk=1μkgk(x)μk≥0gk(x)≤0⎫⎭⎬⎪⎪=>⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪minxmaxμL(x,μ)=maxμminxL(x,μ)=minxf(x)=f(x∗)μkgk(x∗)=0∂L(x,μ)∂x|x=x∗=0

KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化，如果我们把等式约束和不等式约束一并纳入进来则表现为：

L(x,λ,μ)=f(x)+∑ni=1λihi(x)+∑qk=1μkgk(x)λi≠0hi(x)=0μk≥0gk(x)≤0⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=>⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪minxmaxμL(x,λ,μ)=maxμminxL(x,λ,μ)=minxf(x)=f(x∗)μkgk(x∗)=0∂L(x,λ,μ)∂x|x=x∗=0

注：x,λ,μ都是向量。

∂L(x,λ,μ)∂x|x=x∗=0表明f(x)在极值点x∗处的梯度是各个hi(x∗)和gk(x∗)梯度的线性组合。