测度、线性赋范空间、内积空间
参考书籍
周民强. 实变函数论.第2版[M]. 北京大学出版社, 2008王昆杨、孙永生. 泛函分析讲义 第二版[M]. 北京师范大学出版社 2007
测度
总之,我们希望对一般中的点集E给予一种度量,它是长度、面积以及体积的概念的推广。如果记点集E的这种度量为m(E),那么自然应要求它具有某些常见的性质或满足一定的条件。此时,称m(E)为E的测度,以为例,我们提出:
1)m(E)>=0;
2)可合同的点集具有相同的测度;
3)令I=(a,b),则m(I)=b-a;
4)若是互不相交的点集,则
线性赋范空间
给定K上的向量空间X,映射叫做X上的范数,如果它满足条件
1)正定性:||x||>=0,||x||=0x=0;
2)齐次性:,有;
3)三角不等式:,有.
定义了范数的线性空间叫作线性赋范空间,记作(X,||.||).
内积空间
给定数域K(R或C)上的线性空间U,的二元泛函(x,y)称为U上的内积,如果它满足:
1)正定性:(x,x)>=0,且;
2)齐次性:;
3)线性性:(x+y,z)=(x,z)+(y,z);
4)共轭性:.
有内积的线性空间称为内积空间。
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