泛函分析 03.01 内积空间与Hilbert空间-内积空间的基本性质
第三章内积空间与Hilbert空间 \color{blue}{第三章 内积空间与 Hilbert 空间}
在线性空间上定义了范数之后,成为赋范空间. 在线性空间上定义了范数之后, 成为赋范空间.
赋范空间中有元素的范数(模),进一步有了两个元素之间 赋范空间中有元素的范数(模), 进一步有了两个元素之间
的距离等重要的概念. 的距离等重要的概念.
我们知道,“长度”并不是欧氏距离R n 中唯一的可以数 我们知道, “长度”并不是欧氏距离 \mathbb{R}^n 中唯一的可以数
量化的几何概念. 量化的几何概念.
例如x=(x 1 ,x 2 ,x 3 )和y=(y 1 ,y 2 ,y 3 )是R 3 空间中 例如 x = (x_1, x_2, x_3) 和 y = (y_1, y_2, y_3) 是 \mathbb{R}^3 空间中
的向量,它们之间的角度可以用它们的内积 的向量, 它们之间的角度可以用它们的内积
(x,y)=x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 =∥x∥∥y∥cosθ \qquad (x, y) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 = \Vert x \Vert \Vert y \Vert \cos \theta
表示出来.其中 表示出来. 其中
∥x∥=x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 − − − − − − − − − − √ =(x,x) − − − − − √ \qquad \Vert x \Vert = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \sqrt{(x, x)}
∥y∥=(y,y) − − − − √ \qquad \Vert y \Vert = \sqrt{(y, y)}
分别是x和y的长度(模). 分别是 x 和 y 的长度(模).
本章目标:把n维欧氏空间中“角度”、“正交”以及内积 本章目标: 把n维欧氏空间中“角度”、“正交”以及内积
等概念引入到一般的线性空间, 等概念引入到一般的线性空间,
建立起内积空间的一整套理论. 建立起内积空间的一整套理论.
内积空间是一种特殊的赋范空间,从泛函分析发展的历史 内积空间是一种特殊的赋范空间, 从泛函分析发展的历史
上看,人们首先注意到的是内积空间而不是赋范空间. 上看, 人们首先注意到的是内积空间而不是赋范空间.
内积空间特别是Hilbert空间是欧氏空间最自然的“推广”, 内积空间特别是 Hilbert 空间是欧氏空间最自然的“推广”,
它们具有与欧氏空间十分相似的许多性质, 它们具有与欧氏空间十分相似的许多性质,
Hilbert空间迄今为止仍然是应用最广泛的一类空间. Hilbert 空间迄今为止仍然是应用最广泛的一类空间.
在内积空间和Hilbert空间中使用的“几何”概念和述语, 在内积空间和Hilbert空间中使用的“几何”概念和述语,
与欧几里得几何的语言相似,它是由E.Schimidt在1908年引入的. 与欧几里得几何的语言相似,它是由 E.Schimidt在1908年引入的.
下面我们需要把n维欧氏空间内积具有的最基本的性质 下面我们需要把n维欧氏空间内积具有的最基本的性质
抽象出来,在一般的线性空间引入内积的定义,建立起内积 抽象出来, 在一般的线性空间引入内积的定义, 建立起内积
空间、Hilbert空间理论. 空间、Hilbert空间理论.
§3.1内积空间的基本性质 \color{blue}{\S 3.1 内积空间的基本性质}
3.1.1内积空间的定义 3.1.1 内积空间的定义
在R 2 中可以定义距离、范数、内积这些概念, 在\mathbb{R}^2 中可以定义距离、范数、内积这些概念,
设a=(a 1 ,a 2 ),b=(b 1 ,b 2 )∈R 2 ,其内积定义为 设 a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2) \in \mathbb{R}^2, 其内积定义为
(a,b)=a 1 b 1 +a 2 b 2 , \qquad (a, b) = a_1 b_1 + a_2 b_2,
于是 于是
cos(a,b)=(a,b)∥a∥∥b∥ , \qquad \cos (a, b) = \dfrac{(a, b)}{\Vert a \Vert \Vert b \Vert},
∥a∥=(a,a) − − − − √ =a 2 1 +a 2 2 − − − − − − √ , \qquad \Vert a \Vert = \sqrt{(a, a)} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2},
a⊥b⟺(a,b)=0. \qquad a \perp b \Longleftrightarrow (a, b) = 0.
并且内积满足: 并且内积满足:
(1)(a,a)≥0;(a,a)=0当且仅当a=0; (1) (a, a) \geq 0; (a, a) = 0 当且仅当 a = 0;
(2)(a,b)=(b,a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) (a, b) = \overline{(b, a)} ;
(3)(αa,b)=α(a,b); (3) (\alpha a, b) = \alpha (a, b);
(4)(a+b,c)=(a,c)+(b,c). (4) (a + b, c) = (a, c) + (b, c).
我们把这样的一些性质抽象出来,把它们作为内积需满足的基本性质. 我们把这样的一些性质抽象出来, 把它们作为内积需满足的基本性质.
定义3.1.1H是数域K上的线性空间, 定义 3.1.1 H是数域 \mathbb{K} 上的线性空间,
如果对于任意x,y∈H,有K中的一个数(x,y)与它 如果对于任意 x, y \in H, 有 \mathbb{K} 中的一个数 (x, y) 与它
们对应,使得对任意的x,y∈H,a∈K,满足 们对应, 使得对任意的x, y \in H, a \in \mathbb{K}, 满足
(1)(x,x)≥0;(x,x)=0当且仅当x=0; (1) (x, x) \geq 0; (x, x) = 0 当且仅当 x = 0;
(2)(x,y)=(y,x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) (x, y) = \overline{(y, x)};
(3)(ax,y)=a(x,y); (3) (a x, y) = a(x, y);
(4)(x+y,z)=(x,z)+(y,z). (4) (x + y, z) = (x, z) + (y, z).
则称(⋅,⋅)是H上的一个内积, 则称 (\cdot, \cdot) 是H上的一个内积,
定义了内积的空间H成为内积空间. 定义了内积的空间H成为内积空间.
注1：(x,y)是一个二元函数,对于每一个固定的 注1：(x, y)是一个二元函数, 对于每一个固定的
y∈H,(x,y)是H上的一个线性函数(线性泛函). y \in H, (x, y)是H上的一个线性函数(线性泛函).
注2： 注2：
(i)(x,y+z)=(y+z,x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(y,x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ +(z,x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ \qquad (i) (x, y+z) = \overline{(y + z, x)} = \overline{(y, x)} + \overline{(z, x)}
=(x,y)+(x,z), \qquad = (x, y) + (x, z),
(ii)(x,ay)=(ay,x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =a(y,x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =a ¯ (x,y), \qquad (ii) (x, ay) = \overline{(ay, x)} = \overline{a(y, x)} = \overline a (x, y),
即内积对于后一个变量是共轭线性的. 即内积对于后一个变量是共轭线性的.
注3：对于实数域上的线性空间,可以定义实的内积空间, 注3：对于实数域上的线性空间, 可以定义实的内积空间,
这时内积满足的第(2)条改为 这时内积满足的第(2)条改为
(x,y)=(y,x). \qquad (x, y) = (y, x).
例3.1.2对x=(x 1 ,⋯,x n );y=(y 1 ,⋯,y n )∈R n . 例3.1.2 对 x = (x_1, \cdots, x_n); y = (y_1, \cdots, y_n) \in \mathbb{R}^n.
定义 定义
(x,y)=∑ k=1 n x k y k (3.1.1) \qquad (x, y) = \sum \limits_{k=1}^n x_k y_k \quad(3.1.1)
容易验证它是一个内积,因此R n 是一个(实的)内积空间. 容易验证它是一个内积, 因此 \mathbb{R}^n 是一个(实的)内积空间.
下面我们可以看到,有这个内积可定义(范数): 下面我们可以看到, 有这个内积可定义(范数):
∥x∥=(x,x) − − − − − √ =(∑ k=1 n |x k | 2 ) 12 (x∈R n )(3.1.2) \qquad \Vert x \Vert = \sqrt{(x, x)} = (\sum \limits_{k=1}^n |x_k|^2)^{\frac{1}{2}} (x \in \mathbb{R}^n) \quad (3.1.2)
例3.1.3在复的n维向量空间C n 中可以类似地定义内积: 例3.1.3 在复的n维向量空间 \mathbb{C}^n 中可以类似地定义内积:
(x,y)=∑ k=1 n x k y k ¯ ¯ ¯ (3.1.3) \qquad (x, y) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline{y_k} \qquad (3.1.3)
其中x=(x 1 ,⋯,x n );y=(y 1 ,⋯,y n )∈C n . 其中 x = (x_1, \cdots, x_n); y = (y_1, \cdots, y_n) \in \mathbb{C}^n.
在此内积下C n 成为一个内积空间. 在此内积下 \mathbb{C}^n 成为一个内积空间.
3.1.2由内积生成的范数 \color{blue}{3.1.2 由内积生成的范数}
在内积空间中,希望类似于在R 2 中,定义元素的范数 在内积空间中, 希望类似于在\mathbb{R}^2中, 定义元素的范数
∥x∥,且 \Vert x \Vert, 且
∥x∥=(x,x) − − − − − √ \qquad \Vert x \Vert = \sqrt{(x, x)}
为验证这样定义的范数∥x∥满足范数的四个条件,首先要 为验证这样定义的范数 \Vert x \Vert 满足范数的四个条件, 首先要
证明以下的不等式. 证明以下的不等式.
定理3.1.4(Schwarz不等式) 定理 3.1.4 (Schwarz 不等式)
设H是内积空间,对于∀x,y∈H,有 设 H 是内积空间, 对于 \forall x, y \in H, 有
|(x,y)| 2 ≤(x,x)(y,y)(3.1.4) \qquad |(x, y)|^2 \leq (x, x)(y, y) \quad (3.1.4)
证明思路:我们利用内积的定义,即四个条件来证明. 证明思路: 我们利用内积的定义, 即四个条件来证明.
证明：任取λ∈C,则对任意的x,y∈H, 证明：任取 \lambda \in \mathbb{C}, 则对任意的 x, y \in H,
(x+λy,x+λy) \qquad (x + \lambda y, x + \lambda y)
=(x,x)+λ ¯ (x,y)+λ(y,x)+|λ| 2 (y,y)(3.1.5) \qquad = (x, x) + \overline \lambda(x, y) + \lambda(y, x) + |\lambda|^2 (y, y) \quad (3.1.5)
≥0 \qquad \geq 0
设y≠0,令λ=−(x,y)(y,y) ,代入上式知 设 y \neq 0, 令 \lambda = - \dfrac{(x, y)}{(y, y)}, 代入上式知
(x,x)−2|(x,y)| 2 (y,y) +|(x,y)| 2 (y,y) ≥0, \quad (x, x) - 2 \dfrac{|(x, y)|^2}{(y, y)} + \dfrac{|(x, y)|^2}{(y, y)} \geq 0,
因此|(x,y)| 2 ≤(x,x)(y,y) 因此 |(x, y)|^2 \leq (x, x)(y, y)
当y=0时,(x,y)=(y,y)=0,不等式显然成立. 当 y = 0 时, (x, y) = (y, y) = 0, 不等式显然成立.
注1：其中等号当且仅当x与y线性相关(x=−λy)时成立. 注1：其中等号当且仅当 x 与 y线性相关(x = - \lambda y) 时成立.
注2：结合例3.1.2((x,y)=∑ k=1 n x k y k )可知,Cauchy不等式 注2：结合例3.1.2 ((x, y) = \sum \limits_{k=1}^n x_k y_k) 可知, Cauchy 不等式
∑ k=1 n |x k y k |≤(∑ k=1 n |x k | 2 ) 12 (∑ k=1 n |y k | 2 ) 12 \qquad \sum \limits_{k=1}^n |x_k y_k| \leq (\sum \limits_{k=1}^n |x_k|^2)^{\frac{1}{2}}(\sum \limits_{k=1}^n |y_k|^2)^{\frac{1}{2}}
是Schwarz不等式的特殊情况. 是 Schwarz 不等式的特殊情况.
定理3.1.5在内积空间H上,对于任意的x∈H,定义 定理3.1.5 在内积空间H上, 对于任意的 x \in H, 定义
∥x∥=(x,x) − − − − − √ (3.1.6) \qquad \Vert x \Vert = \sqrt{(x, x)} \quad (3.1.6)
则∥⋅∥是H上的一个范数. 则 \Vert \cdot \Vert 是H上的一个范数.
实数上,(3.1.6)式显然满足范数的条件(i),(ii)和(iii). 实数上, (3.1.6) 式显然满足范数的条件(i), (ii) 和 (iii).
对于(iv)三角不等式,由Schwarz不等式我们有 对于(iv)三角不等式, 由 Schwarz 不等式我们有
∥x+y∥ 2 =(x+y,x+y) \qquad \Vert x + y \Vert ^2 = (x +y, x+y)
≤|(x+y,x)|+|(x+y,y)| \qquad \leq |(x+y, x)| + |(x+y, y)|
≤∥x+y∥∥x∥+∥x+y∥∥y∥ \qquad \leq \Vert x+y \Vert \Vert x \Vert + \Vert x+y \Vert \Vert y \Vert
=∥x+y∥(∥x∥+∥y∥), \qquad = \Vert x + y \Vert (\Vert x \Vert + \Vert y \Vert),
于是∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ 于是 \Vert x + y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert
故∥x∥=(x,x) − − − − − √ 是H上由内积产生的范数. 故 \Vert x \Vert = \sqrt{(x, x)} 是H上由内积产生的范数.
从而我们有下述结论: 从而我们有下述结论:
定理3.1.6每个内积空间H按范数∥x∥=(x,x) − − − − − √ 成为一个赋范空间. 定理3.1.6 每个内积空间H按范数 \Vert x \Vert = \sqrt{(x, x)} 成为一个赋范空间.
注：内积空间中定义了范数,由范数又可以定义距离,这样 注：内积空间中定义了范数, 由范数又可以定义距离, 这样
就有了收敛性等距离空间中所具有的性质. 就有了收敛性等距离空间中所具有的性质.
由内积定义了范数∥x∥=(x,x) − − − − − √ ,Schwarz不等式 由内积定义了范数 \Vert x \Vert = \sqrt{(x, x)}, Schwarz 不等式
|(x,y)| 2 ≤(x,x)(y,y) \qquad |(x, y)|^2 \leq (x, x)(y, y)
可以写成: 可以写成:
|(x,y)|≤∥x∥∥y∥(3.1.7) \qquad |(x, y)| \leq \Vert x \Vert \Vert y \Vert \quad (3.1.7)
由Schwarz不等式我们可以得到: 由 Schwarz 不等式我们可以得到:
定理3.1.7设H是内积空间,则内积(x,y)是关于x,y 定理3.1.7 设H是内积空间, 则内积(x, y) 是关于x, y
的连续函数.即当x n →x,y n →y时 的连续函数. 即当 x_n \to x, y_n \to y 时
(x n ,y n )→(x,y)(n→∞) \qquad (x_n, y_n) \to (x, y) (n \to \infty)
分析:只要证明|(x n ,y n )−(x,y)|→0(n→∞) 分析: 只要证明 |(x_n, y_n) - (x, y)| \to 0 (n \to \infty)
注意到∥y n −y∥→0,∥x n −x∥→0,通过加一项,再 注意到 \Vert y_n - y \Vert \to 0, \Vert x_n - x \Vert \to 0, 通过加一项, 再
减掉这一项,利用Schwarz不等式来证明. 减掉这一项, 利用 Schwarz不等式来证明.
证明:由Schwarz不等式(3.1.7),我们有 证明: 由 Schwarz 不等式 (3.1.7), 我们有
|(x n ,y n )−(x,y)| \qquad |(x_n, y_n) - (x, y)|
≤|(x n ,y n )−(x n ,y)+(x n ,y)−(x,y)| \qquad \leq |(x_n, y_n) - (x_n, y) + (x_n, y) - (x, y)|
≤∥y n −y∥∥x n ∥+∥x n −x∥∥y∥, \qquad \leq \Vert y_n - y \Vert \Vert x_n \Vert + \Vert x_n - x \Vert \Vert y \Vert,
因为点列{x n }收敛,所以数列{∥x n ∥}有界,我们有 因为点列 \lbrace x_n \rbrace 收敛, 所以数列 \lbrace \Vert x_n \Vert \rbrace 有界, 我们有
(x n ,y n )→(x,y)(n→∞) \qquad (x_n, y_n) \to (x, y) (n \to \infty)
定理3.1.8设集合M在内积空间H中稠密,若 定理3.1.8 设集合 M 在内积空间H中稠密, 若
x 0 ∈H,且有 x_0 \in H, 且有
(x,x 0 )=0,∀x∈M, \qquad (x, x_0) = 0, \forall x \in M,
则x 0 =0. 则 x_0 = 0.
分析:只要证(x 0 ,x 0 )=0. 分析: 只要证 (x_0, x_0) = 0.
证明:由M在H中稠,对于x 0 ∈H,存在 证明: 由 M 在 H 中稠, 对于 x_0 \in H, 存在
x n ∈M(n=1,2,⋯),使得 x_n \in M(n = 1, 2, \cdots), 使得
x n →x 0 (n→∞) \qquad x_n \to x_0 (n \to \infty)
由内积的连续性 由内积的连续性
(x 0 ,x 0 )=(lim n→∞ x n ,x 0 )=lim n→∞ (x n ,x 0 )=0, \qquad (x_0, x_0) = (\lim \limits_{n \to \infty} x_n, x_0) = \lim \limits_{n \to \infty} (x_n, x_0) = 0,
所以x 0 =0. 所以 x_0 = 0.
3.1.3内积和相应范数的关系 \color{blue}{3.1.3 内积和相应范数的关系}
前面由内积引出范数, 前面由内积引出范数,
下面讨论范数和内积的关系. 下面讨论范数和内积的关系.
定理3.1.9设H是内积空间,对于任何的x,y∈H,有 定理3.1.9 设H是内积空间, 对于任何的 x, y \in H, 有
(i)平行四边形法则 (i) 平行四边形法则
∥x+y∥ 2 +∥x−y∥ 2 =2(∥x∥ 2 +∥y∥ 2 )(3.1.8) \Vert x+y \Vert ^2 + \Vert x-y \Vert^2 = 2(\Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert^2) \quad (3.1.8)
(ii)极化恒定式 (ii) 极化恒定式
(x,y)=14 (∥x+y∥ 2 −∥x−y∥ 2 +i∥x+iy∥ 2 −i∥x−iy∥ 2 )(3.1.9) (x, y) = \dfrac{1}{4}(\Vert x+y \Vert ^2 - \Vert x - y \Vert ^2 + i \Vert x +iy \Vert ^2 - i \Vert x - iy \Vert ^2) \quad (3.1.9)
证明：有内积定义的范数，可知： 证明：有内积定义的范数，可知：
∥x+y∥ 2 =(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)(a) \Vert x+y \Vert ^2 = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) \quad (a)
∥x−y∥ 2 =(x,x)−(x,y)−(y,x)+(y,y)(b) \Vert x - y \Vert ^2= (x, x) - (x, y) - (y, x) + (y, y) \quad (b)
∥x+iy∥ 2 =(x,x)−i(x,y)+i(y,x)+(y,y)(c) \Vert x + iy \Vert ^2 = (x, x) - i(x, y) + i(y, x) + (y, y) \quad (c)
∥x−iy∥ 2 =(x,x)+i(x,y)+i(y,x)+(y,y)(d) \Vert x - iy \Vert ^2 = (x, x) + i(x, y) + i(y, x) + (y, y) \quad (d)
由第一式和第二式相加,得到平行四边形法则. 由第一式和第二式相加, 得到平行四边形法则.
由(a)−(b)+i(c)−i(d)可得极化恒定式. 由(a) - (b) + i(c) - i(d) 可得极化恒定式.
注1：平行四边形法则的几何解释为: 注1：平行四边形法则的几何解释为:
平行四边形对角线的平方和等于4条边的平方和, 平行四边形对角线的平方和等于4条边的平方和,
∥x+y∥ 2 +∥x−y∥ 2 =2(∥x∥ 2 +∥y∥ 2 ) \qquad \Vert x+y \Vert ^2 + \Vert x-y \Vert ^2 = 2(\Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert ^2)
这是内积空间的特征性质. 这是内积空间的特征性质.
在有了正交性的概念以后 在有了正交性的概念以后
如果x⊥y,平行四边形法则成为 如果 x \perp y, 平行四边形法则成为
∥x∥ 2 +∥y∥ 2 =∥x+y∥ 2 (勾股定理) \qquad \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert ^2 = \Vert x+y \Vert ^2 \quad (勾股定理)
注2：由内积可定义一个范数⇒ 注2：由内积可定义一个范数\Rightarrow
内积空间必定是一个赋范空间. \qquad 内积空间必定是一个赋范空间.
再由范数诱导出的距离⇒它又可以成为一个距离空间. 再由范数诱导出的距离 \Rightarrow 它又可以成为一个距离空间.
问题:反之,是否每个线性赋范空间X都能赋以内积(x,y), 问题: 反之, 是否每个线性赋范空间X都能赋以内积(x, y),
使原来的范数总可以表示成为(x,x) − − − − − √ . 使原来的范数总可以表示成为 \sqrt{(x, x)}.
答案：一般并非如此,而是有条件的, 答案：一般并非如此, 而是有条件的,
X内赋以内积的充要条件是:X中的范数满足平行四边形法则. X内赋以内积的充要条件是: X中的范数满足平行四边形法则.
定理3.1.10设X是赋范空间,如果范数满足平行四边形法则, 定理3.1.10 设X是赋范空间, 如果范数满足平行四边形法则,
则可以在X中定义一个内积,使得由这个内积产生的范数正好 则可以在X中定义一个内积, 使得由这个内积产生的范数正好
是X中原来的范数. 是X中原来的范数.
证明大意:在实的线性空间X中,对任意的x,y∈X,令 证明大意: 在实的线性空间X中, 对任意的x, y \in X, 令
(x,y) 1 =14 (∥x+y∥ 2 −∥x−y∥ 2 )(3.1.10) \qquad (x, y)_1 = \dfrac{1}{4}(\Vert x+y \Vert ^2 - \Vert x-y \Vert ^2) \quad (3.1.10)
显然 显然
(x,x) 1 =14 ∥2x∥ 2 =∥x∥ 2 ≥0, \qquad (x, x)_1 = \dfrac{1}{4}\Vert 2x \Vert ^2 = \Vert x \Vert ^2 \geq 0,
(x,y) 1 =(y,x) 1 . \qquad (x, y)_1 = (y, x)_1.
即(⋅,⋅) 1 满足内积定义3.1.1中的条件(1)和(2), 即(\cdot, \cdot)_1 满足内积定义 3.1.1 中的条件(1) 和 (2),
并且这个内积产生的范数就是X上原来的范数. 并且这个内积产生的范数就是X上原来的范数.
证明满足条件(4),考虑X上三个变元x,y,z的函数φ: 证明满足条件(4), 考虑X上三个变元 x, y, z 的函数 \varphi:
φ(x,y,z)=4((x+y,z) 1 −(x,z) 1 −(y,z) 1 ), \varphi(x, y, z) = 4 ((x+y, z)_1 - (x, z)_1 - (y, z)_1),
运用范数满足平行四边形法则,我们得到:对于任意的 运用范数满足平行四边形法则, 我们得到: 对于任意的
x,y,z∈X, x, y, z \in X,
φ(x,y,z)≡0, \qquad \varphi(x, y, z) \equiv 0,
即条件(4)成立.要证明满足内积的条件(3)(齐次),可从(4) 即条件(4)成立. 要证明满足内积的条件(3)(齐次), 可从(4)
(x+y,z) 1 =(x,z) 1 +(y,z) 1 \qquad (x + y, z)_1 = (x, z)_1 + (y, z)_1
出发,先证明结论对正数成立,然后对有理数成立, 出发, 先证明结论对正数成立, 然后对有理数成立,
再加上(⋅,⋅) 1 的连续性,推出对所有的实数均有 再加上 (\cdot, \cdot)_1 的连续性, 推出对所有的实数均有
(cx,y) 1 =c(x,y) 1 \qquad (cx, y)_1 = c(x, y)_1
进一步复的赋范空间的内积,对于任意的x,y∈X,令 进一步复的赋范空间的内积, 对于任意的x, y \in X, 令
(x,y)=14 (∥x+y∥ 2 −∥x−y∥ 2 +i∥x+iy∥ 2 −i∥x−iy∥ 2 ) \qquad (x, y) = \dfrac{1}{4}(\Vert x+y \Vert ^2 - \Vert x-y \Vert ^2 + i \Vert x + i y \Vert ^2 - i \Vert x - i y \Vert ^2)
=(x,y) 1 +i(x,iy) 1 \qquad = (x, y)_1 + i(x, iy)_1
则由(⋅,⋅) 1 的性质,可以验证(⋅,⋅)是X上的内积,且 则由 (\cdot, \cdot)_1 的性质, 可以验证(\cdot, \cdot)是X上的内积, 且
(x,x) − − − − − √ =∥x∥ \qquad \sqrt{(x, x)} = \Vert x \Vert
注：范数是由内积产生的充要条件：平面四边形法则成立. 注：范数是由内积产生的充要条件：平面四边形法则成立.
如果这个范数可以由内积产生,这个赋范空间即可以看作内积空间. 如果这个范数可以由内积产生, 这个赋范空间即可以看作内积空间.
不是所有的范数均可以由内积产生. 不是所有的范数均可以由内积产生.
例3.1.11在C[0,1]中,令 例3.1.11 在 C[0, 1]中, 令
x(t)=1,y(t)=t, \qquad x(t) = 1, y(t) = t,
则x+y=1+t,x−y=1−t,于是 则 x + y = 1 + t, x - y = 1 - t, 于是
∥x∥=1,∥y∥=1,∥x+y∥=2,∥x−y∥=1, \Vert x \Vert = 1, \Vert y \Vert = 1, \Vert x+y \Vert = 2, \Vert x-y \Vert = 1,
∥x+y∥ 2 +∥x−y∥ 2 =5, \Vert x+y \Vert ^2 + \Vert x - y \Vert ^2 = 5,
但是∥x∥ 2 +∥y∥ 2 =2. 但是 \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert^2 = 2.
根据平行四边形法则,C[0,1](同样C[a,b])中的范数不是由内积产生的. 根据平行四边形法则, C[0, 1](同样 C[a, b])中的范数不是由内积产生的.
即在空间C[0,1]上不能定义一个内积,使它产生的范数 即在空间C[0, 1]上不能定义一个内积, 使它产生的范数
为C[0,1]中原来的范数(按最大值定义的范数). 为 C[0, 1]中原来的范数(按最大值定义的范数).
3.1.4完备的内积空间 \color{blue}{3.1.4 完备的内积空间}
在赋范空间中我们看到空间是否完备是十分重要的,在内 在赋范空间中我们看到空间是否完备是十分重要的, 在内
积空间中,是否完备也是很重要的. 积空间中, 是否完备也是很重要的.
定义3.1.12完备的内积空间成为Hilbert空间. \color{blue}{定义 3.1.12 完备的内积空间成为 Hilbert 空间. }
内积空间是否完备是指内积产生的赋范空间是否完备. 内积空间是否完备是指内积产生的赋范空间是否完备.
由“完备空间的任何一个闭子空间也是完备的”，我们有： 由“完备空间的任何一个闭子空间也是完备的”，我们有：
定理3.1.13设H是一个Hilbert空间,Y⊂H是一个线性子空间, 定理3.1.13 设H是一个 Hilbert 空间, Y \subset H 是一个线性子空间,
那么Y是一个Hilbert空间当且仅当Y是闭的. 那么Y是一个 Hilbert 空间当且仅当Y是闭的.
例3.1.14R n (C n )是Hilbert空间. 例 3.1.14 \mathbb{R}^n(\mathbb{C}^n) 是 Hilbert 空间.
例3.1.15l 2 是Hilbert空间. 例 3.1.15 l^2 是 Hilbert 空间.
对任意x,y∈l 2 ,x=(ξ k ),y=(η k ),定义内积 对任意x, y \in l^2, x = (\xi_k), y = (\eta_k), 定义内积
(x,y)=∑ k=1 ∞ ξ k η k ¯ ¯ ¯ (3.1.11) \qquad (x, y) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \xi_k \overline{\eta_k} \quad (3.1.11)
由Ho ¨ lder不等式知: 由 H\ddot{o}lder不等式知:
|(x,y)|≤(∑ k=1 ∞ |ξ k | 2 ) 12 ⋅(∑ k=1 ∞ |η k ¯ ¯ ¯ | 2 ) 12 , \qquad |(x, y)| \leq (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\overline{\eta_k}|^2)^{\frac{1}{2}},
易证(x,y)满足内积的4个条件,由它产生的范数 易证 (x, y) 满足内积的4个条件, 由它产生的范数
∥x∥=(∑ k=1 ∞ ∥ξ i | 2 ) 12 (3.1.12) \qquad \Vert x \Vert = (\sum \limits_{k=1}^{\infty} \Vert \xi_i| ^2)^{\frac{1}{2}} \quad (3.1.12)
是完备的(见本教材例2.2.15及(2.2.30)式). 是完备的(见本教材例 2.2.15 及 (2.2.30)式).
例3.1.16L 2 [a,b]是Hilbert空间. 例 3.1.16 L^2[a, b] 是 Hilbert 空间.
对任意x,y∈L 2 [a,b],定义 对任意 x, y \in L^2[a, b], 定义
(x,y)=∫ b a x(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt(3.1.13) \qquad (x, y) = \int_a^b x(t) \overline{y(t)} dt \quad (3.1.13)
由Ho ¨ lder不等式知: 由 H\ddot{o}lder 不等式知:
|(x,y)|≤|∫ b a x(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt| \qquad |(x, y)| \leq | \int_a^b x(t) \overline{y(t)} dt |
≤(∫ b a |x(t)| 2 dt) 12 (∫ b a |y(t)| 2 dt) 12 \qquad \leq (\int_a^b |x(t)|^2 dt)^{\frac{1}{2}}(\int_a^b |y(t)|^2 dt)^{\frac{1}{2}}
易证(x,y)是L 2 [a,b]上的内积. 易证 (x, y) 是 L^2[a, b] 上的内积.
由这个内积产生的范数 由这个内积产生的范数
∥x∥=[∫ b a |x(t)| 2 dt] 12 (3.1.14) \qquad \Vert x \Vert = [\int_a^b |x(t)|^2 dt] ^{\frac{1}{2}} \quad (3.1.14)
是完备的(见本教材定理2.2.8及(2.2.28)式). 是完备的(见本教材定理2.2.8 及 (2.2.28) 式).
注：不是所有的内积空间都是Hilbert空间. 注：不是所有的内积空间都是 Hilbert 空间.
例3.1.17在全体连续函数组成的线性空间X上,定义 例 3.1. 17 在全体连续函数组成的线性空间 X 上, 定义
(x,y)=∫ b a x(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt(3.1.15) \qquad (x, y) = \int_a^b x(t) \overline{y(t)} dt \quad (3.1. 15)
X是一个内积空间,由此内积产生的范数为 X 是一个内积空间, 由此内积产生的范数为
∥x∥=[∫ b a |x(t)| 2 dt] 12 (3.1.16) \qquad \Vert x \Vert = [\int_a^b |x(t)|^2 dt] ^{\frac{1}{2}} \quad (3.1.16)
但X在范数∥⋅∥下不完备(见教材中例1.1.17和(1.4.6)、(2.2.4)式). 但X在范数 \Vert \cdot \Vert 下不完备(见教材中例 1.1.17 和 (1.4.6)、(2.2.4)式).
X是一个内积空间,但不是Hilbert空间. X是一个内积空间, 但不是 Hilbert 空间.
注:空间是否完备是由全体Cauchy列是否都收敛决定的. 注:空间是否完备是由全体 Cauchy 列是否都收敛决定的.
由距离空间完备化定理, 由距离空间完备化定理,
任何一个内积空间X都可以完备化(因为内积空间也是一个距离空间),即: 任何一个内积空间 X 都可以完备化(因为内积空间也是一个距离空间), 即:
不完备的内积空间X,可以完备成为一个Hilbert空间H, 不完备的内积空间X, 可以完备成为一个 Hilbert 空间 H,
X等距同构于H中的一个稠子集. X 等距同构于 H 中的一个稠子集.
在等距同构的意义下,这样的完备化空间是唯一的. 在等距同构的意义下, 这样的完备化空间是唯一的.
例3.1.17中的空间X,完备化以后成为L 2 [a,b]. 例 3.1.17 中的空间X, 完备化以后成为 L^2[a, b].
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