哇，开始重新补数学知识了以后，才发现有好多“XX空间”这样的概念啊，这本书说这个，那篇文章又用那个，搞得人云里雾里，所以在这里把基础知识整理一下，主要关注“空间”概念本身和概念之间的区别。

线性空间/向量空间

线性空间=向量空间！！这两个概念是等价的。线性空间的概念如下：

简单来说，线性空间就是定义了加法和数乘运算、且满足上述八条运算规律的非空集合。

常见的线性空间有：实数域 $R$ ；全体n维向量 $(x_1,x_2,...,x_n)^T$ 构成的n维空间 $R^n$ （实线性空间）或 $C^n$ (复线性空间）；实数域上所有 $m\times n$ 矩阵按照矩阵加法和数与矩阵的乘法构成的线性空间 $R^{m\times n}$ 等。

线性空间的性质有：

线性空间中零元素是唯一的。

线性空间中任一元素的负元素是唯一的。

对于线性空间中的任意元素 $\alpha$ 有 $0\alpha =0,(-1)\alpha =-\alpha ,k0=0$ 。

如果 $k\alpha =0$ ，则 $k=0$ 或 $\alpha =0$ 。

还有非常重要的“线性相关”、“基”、“维数”、“线性子空间”的概念，想必大家都很熟悉了，在这里就不多说了，有疑问的可以点这里。

范数+线性赋范空间

线性赋范空间就是定义了范数的线性空间，范数和线性赋范空间的定义如下：

在这里需要说明一下，一个线性空间可以引入多个范数。常用的范数有：

L1范数: ||x|| 为x向量各个元素绝对值之和，
L2范数: ||x|| 为x向量各个元素平方和的1/2次方，L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数，
Lp范数: ||x|| 为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方，
L∞范数: ||x|| 为x向量各个元素绝对值最大的那个元素的绝对值，
L-∞范数: ||x|| 为x向量各个元素绝对值最小的那个元素的绝对值，

度量空间/距离空间+线性度量空间

度量空间亦称距离空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

在一维、二维、三维线性空间中，“距离”的概念都是很直观的，但是再往更高维度线性空间或者非线性空间扩展，物理意义上“距离”的定义显然不适用了，因此我们可以采用更抽象的方式定义“距离”和“距离空间（度量空间）”：

设X是非空集合，对于X中任意的两个元素x与y，若按某一法则都对应唯一的实数d(x，y)，而且满足下述三个性质：

(1) 【非负性】d(x，y)≥0，[d(x，y)=0，当且仅当x=y]；

(2) 【对称性】d(x，y)=d(y，x)；

(3) 【三角不等性】对于任意的x，y，z∈X，恒有 d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。

则称d(x, y)为x与y的距离，并称X是以d为距离的距离空间。

线性度量空间，很显然，就是在线性空间的基础上在定义距离的空间。

在这里，我们还可以把距离和范数联系起来：

曼哈顿距离（对应L1范数）
欧式距离（对应L2范数）
切比雪夫距离（对应L∞范数）

同一个空间可以由多个范数，但是只能定义一个距离，所以，我们可以通过范数来定义距离，但是不能通过距离来定义范数。

内积空间+欧氏空间+酉空间

线性空间中仅定义了线性运算（加法和数乘），之后，我们可以引入“距离”的概念，使得向量具有了“模（长度）”的特征。如果我们进一步定义了内积（也称为点积或标量基），将一对矢量与一个纯量连接起来，那就相当于我们在这个空间中引入了“夹角”的概念，并可以进一步谈论矢量的正交、投影等。

定义了内积的线性空间被称为内积空间，具体定义如下：

当K是实数域时，我们将U称为实内积空间，也称为欧几里得（Euclid）空间或欧氏空间；当K是复数域时，我们将U称为复内积空间，也称为酉空间或U空间。

内积空间满足以下性质：

希尔伯特空间+巴拿赫空间

完备的内积空间称为希尔伯特（Hilbert）空间，而完备的赋范空间称为巴拿赫（Banach）空间。在这里，完备性的意思就是柯西序列在内部收敛。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，是用内积定义的范数。这个按我目前学到的用的不多，我也太了解，就不详细展开了，以后用到了再补充吧，Bye~

参考

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6sgceP9H45f.html

https://wenku.baidu.com/view/084bd34124c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec0e.html

https://blog.csdn.net/lulu950817/article/details/80424288

https://max.book118.com/html/2017/1008/136508481.shtm

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转自一个百度百科的回答,觉得很概括,学习一下. 原帖地址:http://zhidao.baidu.com/question/510246021.html 4.1 联系如果在实数域或复数域上距离空间是 ...

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